师：同学你好，这节课我们一起来学习命题与证明的第四课时——三角形内角和定理。通过本节课的学习，希望大家能有以下收获：一、掌握证明文字表述的几何命题的步骤和书写格式；二、掌握三角形内角和定理的证明及简单应用；三、了解证明三角形内角和定理时所引辅助线的作用；四、掌握三角形内角和定理的两个推论及简单应用。
前面我们通过两节课学习了定理与证明，大家还记得什么是定理吗？
生：从基本事实或其他真命题出发，用推理的方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
师：非常好，我们知道的定理已经有很多了。那还记得本章开始我们学习的三角形内角和定理吗？
生：三角形内角和定理就是三角形的三个内角和等于180度。
师：没错，还记得当时我们用什么方法得到这个定理的吗？
生：在前面的学习中，我们是通过折叠、剪拼、度量这些方法发现了这个定理。
师：对，既然它是定理，仅通过折叠、剪拼、度量来说明其正确性肯定不够严谨，所以需要证明。今天我们就一起来探究如何证明这个定理。细心的同学会发现，这个证明题与我们前面的证明题大不相同，这是一个文字命题的证明，它不是按照前面证明题已知、求证的形式给出的，这就需要我们将文字证明题转化为我们习惯的证明题一般形式。那我们该如何改写这个命题呢？这与图形有关吗？
生：当然有关。
师：对，那我们就要画出图形。画成什么样的图形呢？我们画出一个普通的三角形，注意这里画的三角形应普通些，最好不要画成特殊的三角形，这样能保证图形具有任意性，同时标上相应的字母。题目中没有已知、求证，我们得自己写出来。已知就是条件，求证就是要证的结论。那我们再看这个命题的条件和结论分别是什么？
生：它的条件是三个角为三角形的内角，结论是这三个角的和为180度。
师：这还是文字语言，我们还需要结合图形，用符号语言把条件和结论分别写在已知、求证后面。应该怎么写？大家试着写一下。
（同学们尝试书写）
师：依照这个图形，我们写出已知和求证。已知：如图，△ABC。既然画了图形，在已知中就要给出说明，通常用“如图”就行了。求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°。
有了已知和求证，接下来我们一起分析该如何证明这道题。有的同学会说，老师这道题条件太少了，感觉无从下手。那请大家回忆一下，我们在前面是通过怎样的操作实验发现这个定理的呢？
生：以前我们通过剪拼的方法，将三角形的三个内角拼成了一个平角。
师：对，虽然这不是证明，但却给我们以启发。现在我们通过作图来实现这种转化。在剪拼时，我们将角1和角2剪下移到了∠ACB的右侧，并放置在同一条直线上，而剪下的角1和角2拼接在一起组成了一个平角。观察这个剪拼的过程，大家会受到哪些启发呢？这时我们在图形中就得添加一些辅助我们去证明的线，我们把这些添加的线叫做辅助线，就像图中的CD和CE。所谓辅助线，是为了证明的需要在原来的图形上添加的线。注意：一、辅助线要用虚线来表示；二、证明的开始要写明辅助线的画法，后面添加的字母也要说明清楚。那我们该怎样描述这些辅助线呢？想一想，我们是将∠B沿着BC平移，使点B和点C重合，也就是延长BC至D，然后做出∠DCE = ∠B，我们将∠DCE记为∠2。这个过程要描述清楚。证明：如图，延长BC至D，以点C为顶点，CD为一边作∠2 = ∠B。这样我们既实现了角的平移，也关注到了平角的形成。
接下来请大家思考后面该如何处理。我们的∠B和∠2相等，这里点C处就有了一个平角，那∠A呢？大家应该会联想到∠1。下面的关键是怎样得到∠A = ∠1。我们看看图中∠B和∠2是何种关系呢？
生：很明显是一组同位角，而且相等。
师：对，那就必然会产生两条直线平行，也就是CE∥BA。有了这组平行线，我们就可以得到∠A和∠1这组内错角相等，这样∠A + ∠B + ∠ACB就等于∠1 + ∠2 + ∠ACB = 180°。
下面我们一起看看证明过程：证明：如图，延长BC至D，以点C为顶点，CD为一边作∠2 = ∠B，则CE∥AB（同位角相等，两直线平行）。注意这里的逻辑连接词我们使用了“则”，这样就简化替代了“因为……所以……”，又避免了重复性的说明，起到了简化的作用。同时有了这个平行就可以直接连着下面的结论，因为CE∥BA，所以∠1 = ∠A（两直线平行，内错角相等）。因为B、C、D在同一条直线上（所作），所以∠1 + ∠2 + ∠ACB = 180°（平角的定义），所以∠A + ∠B + ∠ACB = ∠1 + ∠2 + ∠ACB = 180°。
在这个过程中，我们受到前面剪拼的启发，合理添加辅助线，通过平移角将三角形的三个内角转化为平角，这样就完成了三角形内角和定理的证明。添加辅助线构造新图形，可以将问题转化为易于证明或求解的情况，大家在以后做题中可以很好地借鉴这个方法。通过这道题目的证明，我们是否可以归纳出对于一个文字证明题的一般步骤呢？
生：在证明文字命题时，一般步骤是：首先根据题意画出正确图形，并在图上标出字母和符号；第二，结合图形，用符号语言把题设和结论分别写在已知、求证后面；接下来分析因果关系，找出证明途径，适当时可以添加辅助线帮助解决；第四，有条理地书写证明过程。注意画图时不能将一般图形画成特殊图形，或将特殊图形画成一般图形。当然，有些几何题目已经画好了图形，写出了已知、求证，这时我们只需要写出证明过程。
师：非常好，请看练习一：补充完成下列证明，并填上推理的依据。已知：如图，△ABC，求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°。这道题也是让我们证明三角形内角和等于180度，并且向我们提供了辅助线的做法：过点A作DE∥BC。有了辅助线就会构造新图形，可以将问题转化为易于证明或求解的情况。受到例题的启发，我们是不是可以在图中寻找平角？既然有了直线，就在点A处有了平角∠DAE。那接下来就看如何实现将三角形的三个内角和转化成一个平角。很明显有了平行线就好办了。根据DE∥BC，我们利用两直线平行，内错角相等，就可以分别得到∠B = ∠DAB和∠C = ∠EAC，这样三角形的三个内角∠B + ∠BAC + ∠C就等于∠DAB + ∠BAC + ∠EAC = ∠DAE = 180°。
证明：过点A作DE∥BC，则∠DAB = ∠B（两直线平行，内错角相等），∠EAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。因为∠DAB + ∠BAC + ∠EAC = ∠DAE（所作），所以∠B + ∠BAC + ∠C = ∠DAB + ∠BAC + ∠EAC = 180°。
那这道题是不是也完成了对三角形内角和定理的证明？采用的是哪一种方法呢？
生：这道题我们依然是通过作辅助线，将三个内角转化为一个平角。
师：对，继续看下一题。二、补充完成下列证明。已知：如图，△ABC，求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°。这道题为我们铺设好了道路，图中已经做出了辅助线，让我们完成剩下的部分。我们分析图中依然是转化为平角解决问题。我们要实现的目标是∠A + ∠B + ∠C = 180°。受到前面两道题解决问题的启发，我们仍然考虑可以去寻找平角。在图中我们发现BC上的点D处，∠1、∠2和∠3的这个位置形成了一个平角，那我们就应该做好角相等的转化。题目中给我们提供了两组平行线，我们应该好好利用这两组平行线。较为直观的是，DE∥AB可以得到∠B = ∠3，DF∥AC可以得到∠1 = ∠C。那请大家观察剩下的∠A该怎么办呢？