师：同学你好，上节课我们通过做辅助线，将三角形三个内角相加转化为一个平角，从而证明了三角形内角和定理。接着由该定理推理得出推论一：直角三角形的两锐角互余；推论二：有两个角互余的三角形是直角三角形。本节课我们将依据三角形内角和定理继续探究。
大家看这样一个问题，如图，一个人从点(m)出发，沿着三角形(ABC)的边绕一周，回到初始位置(m)，他一共转了多少度？同学们动手画一画、算一算。有答案了吗？说说你们是怎么思考的。
要解决这个问题，首先要画出他经过三角形每个顶点时所转的角。不妨设行进路线为从点(m)到点(C)，到点(A)，到点(B)，最后回到点(m)。观察发现，到达点(C)时，需从(CD)方向转到(CA)方向，所转的角记为角(1)；到达点(A)时，需从(AE)方向转到(AB)方向，所转的角记为角(2)；到达点(B)时，需从(BF)方向转到(BC)方向，所转的角记为角(3)。角(1)、角(2)、角(3)的度数和就是所转角度。
那角(1)、角(2)、角(3)显然不是三角形(ABC)的内角，它们是什么呢？角(1 +)角(2 +)角(3)又该怎么求呢？本节课我们就一起来探究解决。
对于角(1)，大家还有印象吗？上节课证明三角形内角和定理时，我们曾把三角形(ABC)的一边(BC)延长到(D)，得到角(1)。这样的角有什么特征呢？大家观察一下。
生：通过观察发现角(1)有三个特征：角(1)的顶点在三角形的一个顶点上；角(1)的一条边是三角形的一边；角(1)的另一条边是三角形某相邻一边的延长线。
师：这样的角叫做三角形的外角，角(1)就是三角形(ABC)的外角。本节课我们就来认识三角形的外角，探究三角形外角的性质。通过本节课的学习，希望大家能有以下收获：能准确描述三角形外角的特征，并在具体图形中快速指出三角形的外角；能准确说出三角形外角与内角的关系，并会简单应用；能用不同方法证明三角形外角和是(360)度。
根据前面的观察和分析，谁能说出三角形外角的定义？
生：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
师：三角形的外角与内角都是与三角形有关的角，那三角形外角与内角的区别是什么呢？
生：外角是由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，内角是由三角形的两边组成的角。
师：在具体图形中，大家能识别三角形的外角吗？请看这道题，如图，哪一个角是三角形(ABC)的外角？
生：选(C)。因为(C)中的角是由三角形(ABC)的边(BA)与边(CB)的延长线组成的角，符合三角形外角的定义。(A)中角的两边都是三角形边的延长线；(B)中角的一边是三角形的一边，另一边不是三角形一边的延长线；(D)中角的一边是三角形一边的延长线，另一边不是三角形的边。这三个角都不符合三角形外角的定义，所以都不是三角形的外角。
师：非常好。由此可见，根据三角形外角的定义，可以帮助我们正确识别外角。我们知道一个三角形有(3)个内角，那它有几个外角呢？大家思考一下，三角形(ABC)一共有几个外角？动手画一画，数一数。
生：三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线组成的角。把三角形的边分别向两端延长，(AB)分别向两端延长，得到(2)个外角，角(1)和角(2)；(BC)分别向两端延长，得到(2)个外角，角(3)和角(4)；(CA)分别向两端延长，得到(2)个外角，角(5)和角(6)。所以三角形(ABC)一共有(6)个外角。
师：进一步观察可以发现，三角形每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角，角(1)和角(5)、角(2)和角(4)、角(3)和角(6)分别是对顶角。一个三角形既有外角又有内角，它们之间会不会有关系？有怎样的关系呢？我们来探究三角形一个外角与内角有什么关系。大家怎么思考的？
生：三角形的一个外角可能与三角形的内角相邻，也可能不相邻，所以要根据外角与内角的位置关系分情况思考。
师：非常好。如图，三角形(ABC)的外角(\angle1)和内角(\angle ACB)相邻。根据平角的定义，(\angle1 + \angle ACB = 180^{\circ})。由此可知，三角形的外角与相邻的内角互为补角。那(\angle1)和另外两个内角(\angle A)、(\angle B)都不相邻，又有什么关系呢？
生：因为(\angle1 + \angle ACB = 180^{\circ})（平角的定义），(\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^{\circ})（三角形内角和定理），所以(\angle1 + \angle ACB = \angle A + \angle B + \angle ACB)（等量代换）。根据等式性质，两边消去(\angle ACB)，所以(\angle1 = \angle A + \angle B)。
师：由此得到三角形内角和定理的第三个推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。所以三角形外角与内角的关系为：三角形的外角与它相邻的内角互补；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。进一步分析，(\angle1 = \angle A + \angle B)，显然(\angle1)比(\angle A)、(\angle B)都要大。因此由推论(3)可得到新的推论(4)：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。
在解决三角形有关的问题时，经常利用推论(3)、推论(4)进行计算和证明，需要用符号语言进行表示，大家会用符号语言分别表示这两个推论吗？结合图形写一写。
生：推论(3)：因为(\angle1)是三角形(ABC)的外角，所以(\angle1 = \angle A + \angle B)。推论(4)：因为(\angle1)是三角形(ABC)的外角，所以(\angle1 > \angle A)，(\angle1 > \angle B)。
师：写得很对。这两个推论可以帮助我们解决三角形外角有关的问题。挑战一下，请看练习一，求下列各图中(\angle1)的度数，动手做一做。
生：图一中，因为(\angle1 = \angle A + \angle C)（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），已知(\angle A = 60^{\circ})，(\angle C = 40^{\circ})，所以(\angle1 = 60^{\circ} + 40^{\circ} = 100^{\circ})。图(2)中，因为(\angle CAD = \angle1 + \angle C)（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），所以(\angle1 = \angle CAD - \angle C)（等式性质）。已知(\angle CAD = 125^{\circ})，(\angle C = 80^{\circ})，所以(\angle1 = 125^{\circ} - 80^{\circ} = 45^{\circ})。
师：做对了。继续挑战。请看例一，已知如图，(\angle1)、(\angle2)、(\angle3)是三角形(ABC)的(3)个外角。求证：(\angle1 + \angle2 + \angle3 = 360^{\circ})，该怎么证明？大家分析一下。