师：同学们好，这节课将由我带领大家继续探究三角形全等的判定。通过本节课的学习，希望大家能有以下收获：一、掌握角边角判定两个三角形全等的方法；二、经历探索角边角判定两个三角形全等的过程，通过操作探究体验获得数学结论的过程；三、在探索三角形全等条件及其应用的过程中，能有条理地思考，并能进行简单的说理。请同学们准备好笔、直尺、圆规和草稿本，下面开始新课学习。上节课我们学习了一种判定两个三角形全等的方法，大家还记得吗？它需要哪几个条件？
生：我们学习了三角形全等的第一种判定方法，两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简称为边角边或者SAS。共需要三个条件，如图，AB等于A'B'，BC等于B'C'，以及它们的夹角∠B等于∠B'。
师：非常好。用符号语言表示为，在△ABC和△A'B'C'中，因为AB = A'B'，∠B = ∠B'，BC = B'C'，所以△ABC≌△A'B'C'。在利用边角边判定两个三角形全等时，大家一定要注意找到的相等的边或角是否属于要判定的两个三角形，相等的角是否为两边的夹角。最近小明同学很苦恼，因为他不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形玻璃？如果可以，带哪块去合适？大家有什么想法？
生：第一块玻璃只能确定三角形的一个角，第二块玻璃通过延长边也只能确定一个角。上节课我们知道只有一个角是不能确定一个三角形的。
师：没错。那我们来看看第三块玻璃，可以确定该三角形的两个角和这两个角的夹边，共有三个元素，能够确定这个三角形吗？这个问题可以转化为两个角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等吗？如图，在△ABC和△A'B'C'中，已知条件是∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，BC = B'C'，能否得到△ABC和△A'B'C'全等？接下来请同学们拿出作图工具和草稿纸，跟着老师一起操作，共同通过作图验证。首先请同学们在草稿纸上任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使∠B' = ∠B，B'C' = BC，∠C' = ∠C。这里我们可以先用圆规在一条射线上截取B'C' = BC，再分别以点B'、C'为顶点，在B'C'的同一侧作∠B' = ∠B，∠C' = ∠C。大家跟着老师一起操作，要保证作图的规范性和准确性。
生：（操作）
师：∠B'和∠C'的边交于点A'，这样就得到了△A'B'C'。把画好的△A'B'C'用剪刀剪下，与△ABC叠一叠，大家有什么发现？
生：这两个三角形放在一起能够完全重合，说明这两个三角形全等。
师：很好。让我们重新看看这两个三角形所具备的条件，∠B = ∠B'，BC = B'C'，∠C = ∠C'，可以得到这两个三角形全等。大家能用自己的语言归纳出这个结论吗？
生：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
师：对，这就是判定两个三角形全等的第二种方法，我们可以表述为两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简记为角边角或ASA。用符号语言表示为在△ABC和△A'B'C'中，因为∠B = ∠B'，BC = B'C'，∠C = ∠C'，所以△ABC≌△A'B'C'。与上节课学习的边角边类似，大家一定要注意找到的相等的边或角是否属于要判定的两个三角形，相等的边是否为两角的夹边。下面我们来看看它的具体应用。例3已知，如图，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证DB = CB。需要证明的是两条线段相等，很容易联想到，可以通过证明图中的△ABD和△ABC全等，通过全等三角形的性质得到对应边相等。那么又如何来证明这两个三角形全等呢？大家再回过头看看题目中已经具备的条件。
生：∠1 = ∠2，这是要证明的两个三角形中的一组角相等。结合图形，AB是这两个三角形的一条公共边，这是图形中的隐含条件。
师：非常好。还有一个已知条件∠3 = ∠4，能直接当做条件用在证明这两个三角形全等吗？大家想一想。
生：不能，因为这两个角并不是这两个三角形的内角。
师：对，但是我们可以根据等角的补角相等证明∠3的邻补角∠5和∠4的邻补角∠6相等，这两个角就分别是要证明的两个三角形的内角了。到这里我们能够找到△ABD和△ABC中的两组角及其夹边分别是相等的，这样我们就能通过刚刚得到的角边角判定这两个三角形全等了。按照这样的解题思路，我们把证明过程完善一下。证明：因为∠5与∠3互为补角，∠6与∠4互为补角（已知），又因为∠3 = ∠4（已知），所以∠5 = ∠6（等角的补角相等）。条件已经具备，下面我们罗列条件证明全等。在△ABD和△ABC中，因为∠1 = ∠2（已知），AB = AB（公共边），∠5 = ∠6（已证），所以△ABD≌△ABC（ASA），所以DB = CB（全等三角形的对应边相等）。通过这样一道例题，我们不难发现，证明几何题很多时候都是从结论出发，再结合题目中的已知条件以及图形中的隐含条件，一步一步地转化，找到突破口，理清解题思路，最后一气呵成写出过程。下面请看一道实际问题。例4已知如图，要测量河两岸相对的两点A、B之间的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC = CD，再过点D作BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，这时测得DE的长等于AB的长。请说明道理。这一题需要证明的仍然是两条线段相等，可以仿照上一题的思路，通过证明三角形全等来实现目标。结合图形，大家找到这两条线段所在的三角形了吗？应该证明哪两个三角形全等呢？
生：要证明△ABC和△EDC全等。
师：对。下面我们对照图形把找到的条件标注在图形中。首先根据AB⊥BD，ED⊥BD，我们能得到∠ABC和∠EDC都是直角，还有BC = CD，这是一组边相等。要证明△ABC和△EDC全等还缺少条件。大家再仔细找找看有没有什么隐含条件被漏掉了，发现了吗？
生：∠ACB和∠ECD是对顶角，对顶角相等。
师：没错，这样我们就可以根据角边角判定△ABC和△EDC全等了。有了思路，相信大家也能按照逻辑顺序书写好步骤了，让我们一起来完成证明。因为AB⊥BD，ED⊥BD（已知），所以∠ABC = ∠EDC = 90°（垂直的定义）。在△ABC和△EDC中，因为∠ABC = ∠EDC（已证），BC = CD（已知），∠ACB = ∠ECD（对顶角相等），所以△ABC≌△EDC（ASA），所以AB = DE（全等三角形的对应边相等）。这一道题目解决了生活中的难题，也体现了数学是来源于生活，服务于生活的。在分析这两道例题时，我们都是从结论出发，把证明两条线段相等转化为证明两个三角形全等，再去结合题目中的已知条件，挖掘题目和图形中的隐含条件，用我们所学过的判定方法证明三角形全等。希望同学们在后面的练习中也能运用这样的方法解决问题。好了，下面请同学们来小试牛刀做练习。一、已知∠1 = ∠2，∠ABC = ∠DCB。求证△ABC≌△DCB。请同学们独立想一想。