师：同学们好，这节课将继续学习三角形全等的判定。通过本节课学习，希望大家有以下收获：一是能灵活应用三角形全等的证明方法解决线段相等或角相等的问题；二是经历文字证明题的解题过程，提高把文字叙述转化为符号语言的能力。请同学们准备好笔和草稿纸，下面开始上课。
在前面几节课，我们学习了三角形全等的判定。那么判定两个三角形全等的方法有哪些？又需要哪几个条件呢？请同学们回忆一下。
如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果两组边以及它们的夹角分别相等，可用SAS判定这两个三角形全等；如果两组角以及它们的夹边分别相等，可用ASA判定；如果两组角以及一角的对边分别相等，可用AAS判定；三边分别相等时，借助SSS可判定这两个三角形全等。这四种判定方法适用于任意两个三角形全等。而在两个直角三角形中，如果斜边和直角边分别相等，可根据HL判定这两个直角三角形全等。
需要注意的是，HL只适用于两个直角三角形。通过这些判定方法归纳可知，要判定两个三角形全等至少需要几组条件呢？请同学们想一想，至少需要3组条件，并且至少有一组边相等。
接下来看一道例题。例8，已知如图，AB = CD，BC = DA，E、F是AC上两点，且AE = CF，求证BF = DE。下面我们一起分析这道题。
首先，找出题目中已有的已知条件，并标注在图中，AB = CD，BC = DA，还有AE = CF。要证明的是两条线段BF = DE。通过前面学习，我们知道证明线段相等或者角相等，可转化为证明它们所在的两个三角形全等。对照图形，可转化为证明图中△BCF和△DAE全等，或者△ABF和△CDE全等。就目前条件而言，证明△BCF和△DAE全等更好。
因为这两个三角形已有两组边分别相等，而另外两个三角形只有一组边相等，还缺少条件。想一想，该找边还是找角呢？我们要由全等得到边相等，所以找不到边相等了，那就找角相等，并且一定要找这两组边的夹角，这样才能根据边角边判定△BCF和△DAE全等。不妨在图中标上角1和角2。
怎样证明这两个角相等呢？再看已知条件，AB = CD，BC = DA。这两组边分别在△ABC和△CDA中，还含有隐含条件公共边AC = CA。我们可根据边边边判定这两个三角形全等，进而由全等的性质对应角相等得到角1 = 角2。再结合前面找到的条件，BC = DA，CF = AE，就能根据边角边判定△BCF和△DAE全等了。
按照这样的解题思路，我们一起书写解题过程。
证明：在△ABC和△CDA中，
因为AB = CD，BC = DA，AC = CA，
所以△ABC≌△CDA（SSS），
所以∠1 = ∠2。
条件已具备，下面证明第二组三角形全等。
在△BCF和△DAE中，
因为BC = DA，∠1 = ∠2，CF = AE，
所以△BCF≌△DAE（SAS），
所以BF = DE。
通过这道例题可知，以后分析几何题，往往把题目中的已知条件标注在图中，看看能得到什么相关结论，再把需要证明的结论，比如线段或者角相等，转化为三角形全等来解决。相信大家对几何题的解法有了全新认识。下面看看能否独立完成这道练习。
练习一，已知如图，AB∥CD，AB = CD，AD与BC交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、点F，求证OE = OF。同学们可按下暂停，理清思路，写出过程。
完成了吗？下面跟着老师一起分析，看看想法是否一致。
由条件AB∥CD，我们能得到图中有两组内错角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠C。再结合条件AB = CD，可由角边角判定△AOB和△DOC全等。不过，我们的目标是证明OE = OF，这并非这两个三角形的对应边，该怎么办呢？结合图形，可转化为证明△AOE≌△DOF，或者△BOE≌△COF。我们不妨选择证明△AOE≌△DOF。
已有一组角∠A = ∠D，还可由刚刚证明的△AOB和△DOC全等得到OA = OD。还缺少条件，可选择由条件AB∥CD得到∠AEO = ∠DFO，进而根据角角边证明△AOE和△DOF全等。当然，也可使用隐含条件对顶角∠1 = ∠2，这样就能根据角边角判定△AOE和△DOF全等了。到这里，题目就解决了。
当然，这题解法不唯一，只要言之有理，符合逻辑关系都是正确的。同学们也可尝试不同解法，比较哪种最简便。下面按照刚刚的解题思路书写步骤。
证明：因为AB∥CD，
所以∠A = ∠D，∠B = ∠C。
在△AOB和△DOC中，
因为∠A = ∠D，AB = DC，∠B = ∠C，
所以△AOB≌△DOC（ASA），
所以OA = OD。
在△AOE和△DOF中，
因为∠A = ∠D，OA = OD，∠1 = ∠2，
所以△AOE≌△DOF（ASA），
所以OE = OF。
在以后解题过程中，会经常遇到像这样需证明两次三角形全等才能解决问题的题目。同学们要耐心分析题目中的已知条件，挖掘隐含条件，再采用由果寻因的逆向思维综合分析题目，相信大家一定能成为解题高手。接下来看这道练习。
练习二，已知如图，AB = AD，AC = AE，∠BAE = ∠DAC。
求证△ABC≌△ADE。
BM = DN成立吗？为什么？
请同学们按下暂停，独立思考并作答。完成了吗？下面共同分析这道题。
第一问，要证明△ABC和△ADE全等。根据题目已知条件，AB = AD，AC = AE，这是要证明的两个三角形中的两组边分别相等。而要证明这两个三角形全等，还需一组条件，可是第三边相等，也可是这两边的夹角相等。
再看题目中还有条件∠BAE = ∠DAC，这是一组角相等。同学们想一想，能否直接用于证明△ABC和△ADE全等呢？很明显，这两个角并非要证明的两个三角形的内角。但是，经过分别加上图中的角∠EAC转化可得∠BAC = ∠DAE，这两个角才是要证明的两个三角形的内角。加上已知的两组边AB = AD，AC = AE，可根据边角边判定△ABC和△ADE全等。
再看第二问，要证明两条线段BM = DN。根据前面经验，不难想到转化为证明这两条线段所在的三角形全等。结合图形，能找到需证明哪两个三角形全等吗？相信大家找到了，可证明图中的△ABM和△ADN全等。
再来找已具备的条件，有一组边AB = AD，一组角∠BAE = ∠DAC。还缺少一个条件。如果找边，只能找AM = AN，但目前不好证明这两条线段相等。可以找角相等吗？由第一问证明了△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质对应角相等，能得到∠B = ∠D，这是要证明的△ABM和△ADN中的一组角相等，这样就能根据角边角判定这两个三角形全等了。