师：同学们大家好，今天我们一起学习 15.1 节轴对称图形第三课时。上课前，先来看小明暑期旅游时发生的故事。一位外国游客在天安门广场向小明询问西直门的位置，可他只知道东直门的位置。聪明的小明想了想，就准确地告诉了他。大家能猜到小明是怎么做到的吗？原来，上初二的小明是这样做的。这是一幅老北京的示意图，西直门和东直门是关于中轴线对称的。如果我们以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系，就能根据东直门的坐标得出西直门的坐标。同学们想不想和小明一样聪明呀？那我们就继续今天的学习。在学习新课之前，请同学们看大屏幕。已知点 A 和一条直线 MN，大家能画出这个点关于已知直线的对称点吗？请在草稿纸上画一画、试一试。
好，我们一起来复习一下。第一步，过点 A 作 AO 垂直于 MN，垂足为点 O。然后将线段 AO 延长至点 A'，使得 AO = OA'，此时点 A'就是点 A 关于直线 MN 的对称点。大家都想起来了吗？接下来老师问个问题，如果把这里的直线 MN 换成平面直角坐标系中的 x 轴或者 y 轴，那么点 A 和点 A'的坐标会有什么样的规律呢？这就是我们今天要研究的主要内容。我们先来第一个探究：在平面直角坐标系中画出下列各点关于 x 轴的对称点，并说出它的坐标。请同学们在草稿纸上画一画、试一试。
这个不难，我们一起来对答案。首先，点 A 关于 x 轴的对称点 A'的坐标为（2， -3）；点 B 关于 x 轴对称点 B'的坐标为（ -4， -2）；点 C 关于 x 轴的对称点 C'的坐标为（3， 4）。请同学们思考一下，这三组对称点的坐标有什么共同规律呢？为方便大家更直观地分析，老师列出了一个表格，大家上下对应着看，能发现其中的奥秘吗？我们不难发现，横坐标是相等的，纵坐标互为相反数。如果老师给出任意一点的坐标，横坐标为 x，纵坐标为 y，大家能说出关于 x 轴对称的点的坐标是什么吗？根据刚才得到的规律，横坐标相等，所以横坐标还是 x，纵坐标变成相反数，所以纵坐标为 -y。这个结论是否正确呢？接下来我们进行简要分析。
我们在平面直角坐标系中任意取一点 P，横坐标为 x，纵坐标为 y。首先过点 P 向坐标轴做垂线段，垂足分别对应在坐标轴上的数值就是 x 和 y。然后过点 P 做 x 轴的对称点 P1。根据刚才复习的过已知点做已知直线对称点的方法，我们能得出这两条线段相等。也就是说点 P 和点 P1 到 x 轴的距离都相等，所以 P1 的纵坐标为 -y，横坐标为 x，即 P1 的坐标为（x， -y）。这样简要的说明更加坚定了这个结论的正确性。同学们，大家能用语言将它描述出来吗？
我们可以描述为：横坐标相等，纵坐标互为相反数。所以可以归纳成关于 x 轴对称的点的坐标特点是横坐标相等，纵坐标互为相反数，简称为“横轴横相等”。总结了这么好的结论，我们看看会遇到什么样的题目吧。
首先第一题，点 P（ -5， 6）与点 Q 关于 x 轴对称，根据我们刚才总结的关于 x 轴对称的点的坐标特点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，所以点 Q 的坐标应为（ -5， -6）。好，第二题，点 M（a， -5）与点 N（ -2， b）关于 x 轴对称，求 a 和 b 的值分别是多少？同样，根据关于 x 轴对称的点坐标特点，横坐标相等，纵坐标互为相反数。所以 a = -2，b = 5。这是关于 x 轴对称的点坐标特点，那么关于 y 轴，它又有什么样的结论呢？接下来我们进行第二个探究，在平面直角坐标系中画出下列各点关于 y 轴的对称点，并说出它的坐标。请同学们在草稿纸上画一画、试一试。
这个难度也不大，我们一起来核对答案。首先，点 A 关于 y 轴的对称点 A'的坐标为（ -2， 3）；点 B 关于 y 轴对称点 B'坐标为（4， 2）；点 C 关于 y 轴的对称点 C'的坐标为（ -3， -4）。同样，这三组对称点有什么共同规律呢？请同学们开动小脑筋思考一下。
好，为方便大家分析，老师又列出了一个表格，大家上下对应着看，这次又能发现什么小秘密呢？我们不难发现，这次是纵坐标相等，横坐标互为相反数。如果老师给出任意一点坐标，横坐标为 x，纵坐标为 y，大家能帮老师说出关于 y 轴对称的点的坐标是什么吗？没错，根据刚才的结论，横坐标互为相反数，所以是 -x，纵坐标相等，所以还是 y。这个结论正确吗？我们接下来进行简单分析。
同样在平面直角坐标系中，任意取一点 P，横坐标为 x，纵坐标为 y，分别向坐标轴做垂线段，垂足对应在坐标轴上的数值就是 x 和 y。然后做关于 y 轴的对称点 P2，根据刚才复习的做已知点关于已知直线对称点的方法，我们能判断出 P2 的位置。在刚才的作图过程中，我们不难发现这两条线段相等，也就是说点 P 和点 P2 到 y 轴的距离都相等，所以点 P2 的横坐标就应该为 -x，纵坐标为 y。也就是说，刚才这样的分析更加坚定了这个结论的正确性。
大家能开动小脑筋，再用语言描述一遍吗？我们会发现横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以可以总结为关于 y 轴对称的点坐标的特点是横坐标互为相反数，纵坐标相等，简记为“纵轴纵相等”。我们来看看会遇到什么样的题目，同学们赶紧练一练吧。
首先第一题，点 P（ -5， 6）与点 Q 关于 y 轴对称，则点 Q 的坐标为？根据我们刚才所说的关于 y 轴对称的点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，我们可以得到点 Q 的坐标为（5， 6）。点 M（a， -5）与点 N（ -2， b）关于 y 轴对称，根据刚才总结的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以 a = 2，b = -5。同学们都写对了吗？好，学习了这两个重要结论，我们不仅能快速算出已知点关于坐标轴的对称点，还能利用这两个结论画出已知图形的轴对称图形。我们先来看例一，如图所示，四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（ -1， 1）、B（ -2， 1）、C（ -2， 5）、D（ -5， 4），分别画出与四边形 ABCD 关于 y 轴和 x 轴对称的图形。同学们想一想，如果画与 y 轴对称的图形，画多边形时，我们可以先确定这个多边形各个顶点的坐标，从而描出各点。所以我们可以利用刚才所学的关于 y 轴对称的点的坐标特点，首先得出 A'坐标为（1， 1），B'坐标为（2， 1），C'坐标为（2， 5），D'坐标为（5， 4），然后在平面直角坐标系中依次连接即可。