师：同学们好，今天这节课我们一起来复习第21章的内容。在这一章，我们学习了二次函数与反比例函数，大家还记得它们的定义吗？一般形如(y = ax^{2} + bx + c)（(a)、(b)、(c)为常数，(a≠0)）的函数叫做二次函数。通常它也可以表示成顶点式(y = a(x + h)^{2} + k)（(a≠0)），其中顶点坐标为(( - h,k))。反比例函数一般形如(y = \frac{k}{x})（(k≠0)）的函数叫做反比例函数。那么，下列函数关系式中，(y)是(x)的二次函数的是？
a选项，没有保证二次项系数(a)不为(0)。若(a = 0)，则关系式中不含有二次项。
b选项，展开后括号里的(3x)与(4x)的乘积得(12x^{2})，与(-12x^{2})相抵消，最终关系式中不含有二次项。
c选项中含有分式。
d选项，(\sqrt{3}x^{2})是二次项，(2x)是一次项，(5)是常数项。所以例1的正确选项是d，这是二次函数概念的相关问题。我们再来看与反比例函数概念相关的例题。
例2，若(y = (a + 1)x^{a^{2} - 2})是反比例函数，则(a)的取值范围为？同学们可以按下暂停键先独立思考。
我们知道反比例函数的表达形式是(y = \frac{k}{x})（(k≠0)），(x)的指数是(-1)。所以(a^{2} - 2 = - 1)，(a + 1≠0)，解得(a = 1)。所以例2的正确答案是(a)。接下来我们一起来复习二次函数与反比例函数图像与性质的相关知识点。
二次函数的图像是一条抛物线。当二次项系数(a＞0)时，抛物线开口向上；(a＜0)时，抛物线开口向下。对称轴可以表示成直线(x = -\frac{b}{2a})，顶点坐标是((-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a}))。增减性方面，(a＞0)时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，图像呈下降趋势，(y)随(x)的增大而减小；在对称轴右侧，图像呈上升趋势，(y)随(x)的增大而增大。(a＜0)时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，图像呈上升趋势，(y)随(x)的增大而增大；在对称轴右侧，图像呈下降趋势，(y)随(x)的增大而减小。最值方面，开口向上时，图像有最低点，在顶点处取得最小值。所以当(x = -\frac{b}{2a})时，(y)有最小值(\frac{4ac - b^{2}}{4a})；开口向下时，抛物线有最高点，在顶点处取得最大值。当(x = -\frac{b}{2a})时，(y)有最大值(\frac{4ac - b^{2}}{4a})。对称性方面，二次函数的图像是轴对称图形。
反比例函数的图像是双曲线。当(k＞0)时，图像分布在一、三象限；当(k＜0)时，图像分布在二、四象限。增减性方面，(k＞0)时，在每个象限内图像呈下降趋势，即(y)随着(x)的增大而减小；(k＜0)时，在每个象限内图像呈上升趋势，即(y)随(x)的增大而增大。(k)的几何意义是，在双曲线上任意找一点(B)，过(B)点作两坐标轴的垂线，垂足分别为(A)、(C)，那么矩形(ABCO)的面积等于(\vert k\vert)。连接(OB)，三角形(OBA)的面积等于三角形(OBC)的面积等于(\frac{1}{2}\vert k\vert)。对称性方面，反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形。它的对称轴有两条，分别是一三象限的角平分线，二、四象限的角平分线，对称中心是原点。现在我们一起来看与二次函数和反比例函数图像与性质有关的相关例题。
例3，在同一直角坐标系中，一次函数(y = ax + b)和二次函数(y = a(x + c)^{2})的图像大致为？一次函数的图像是一条直线，表达式(y = ax + c)中，一次项系数(a＞0)时，直线呈上升趋势，即(y)随(x)的增大而增大；(a＜0)时，直线呈下降趋势，即(y)随(x)的增大而减小。(c＞0)时，直线与(y)轴交于正半轴；(c＜0)时，直线与(y)轴交于负半轴。二次函数的图像是抛物线，顶点式中的(a)确定了开口方向，(a＞0)，抛物线开口向上；(a＜0)，抛物线开口向下。完全平方式中的(c)确定了对称轴是直线(x = - c)。
a选项中，直线呈上升趋势，意味着一次函数表达式中的(a＞0)；抛物线开口向下，意味着二次函数表达式中的(a＜0)，二者矛盾，a选项错误。
b选项，直线呈下降趋势，意味着一次函数表达式中的(a＜0)；抛物线开口向下，意味着二次函数表达式中的(a＜0)。再看(c)，直线与(y)轴交于正半轴，意味着一次函数表达式中的(c＞0)；抛物线的对称轴在(y)轴左侧，意味着表达式中的(-c＜0)，即(c＞0)，b选项正确。请同学们按下暂停键，独立思考c、d选项进行检验。
c选项，直线呈上升趋势，一次函数表达式中的(a＞0)，抛物线开口向上，二次函数表达式中的(a＞0)。再看(c)，直线与(y)轴交于负半轴，一次函数表达式中的(c＜0)，抛物线的对称轴在(y)轴左侧，二次函数表达式中的(-c＜0)，即(c＞0)，二者矛盾，c选项错误。
d选项，直线呈下降趋势，一次函数表达式中的(a＜0)，抛物线开口向上，二次函数表达式中的(a＞0)，二者矛盾，所以例3的正确选项是b。
例4，若点(A(-1,-6))、(B(-2,a))在反比例函数(y = \frac{k}{x})（(k≠0)）图像上，过点(A)分别作两坐标轴的垂线，垂线段与两坐标轴围成一个矩形，过点(B)分别作两坐标轴的垂线，垂线段与两坐标轴围成一个矩形。若两个矩形重合部分的面积为1，求(S_{1} + S_{2})的值。同学们可以按下暂停键，先独立思考。
(A)、(B)在反比例函数图像上，我们将(A)、(B)两点代入反比例函数的关系式，可以得到(k = 6)，(a = - 3)。由(k)的几何意义我们可以知道，过(A)、(B)两点的垂线段与坐标轴围成的矩形的面积都等于(6)。而重合部分的阴影部分面积为(1)，所以(S_{1} = S_{2} = 6 - 1 = 5)，(S_{1} + S_{2} = 10)。接下来我们一起来看与增减性有关的典型例题。
例5，已知二次函数(y = - x^{2} - 7x + \frac{15}{2})。若自变量分别取(x_{1})、(x_{2})、(x_{3})，且(0＜x_{1}＜x_{2}＜x_{3})，则对应的函数值(y_{1})、(y_{2})、(y_{3})的大小关系正确的是？由二次函数的表达式我们可以看出二次项的系数为(-1)，因此抛物线开口向下，一次项的系数为(-7)，所以抛物线的对称轴为直线(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2})。我们可以画出简图，观察图像在对称轴右侧，图像呈下降趋势，(y)随(x)的增大而减小。所以当(0＜x_{1}＜x_{2}＜x_{3})时，有(y_{1}＞y_{2}＞y_{3})，所以正确选项是a，这是二次函数增减性的相关问题。我们再来看反比例函数增减性的典型例题。