师：同学们好，今天我们一起学习第六章第一节平方根第三课时。首先，我们回顾一下本章刚学的内容。
师：一、算术平方根的概念及符号表示。如果一个正数(x)的平方等于(a)，那么这个正数(x)叫做(a)的算术平方根，(0)的算术平方根是(0)，我们可以用符号(\sqrt{a})表示，这里(a\geq0)。
师：请判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根。(0.04\gt0)，有算术平方根，(\sqrt{0.04}=0.2)；(1\gt0)，有算术平方根，(\sqrt{1}=1)；(\frac{36}{121}\gt0)，有算术平方根，(\sqrt{\frac{36}{121}}=\frac{6}{11})；(0)的算术平方根是(0)，即(\sqrt{0}=0)；(-25\lt0)，没有算术平方根；(( - 3)^2 = 9\gt0)，所以有算术平方根，(\sqrt{( - 3)^2}=\sqrt{9}=3)。
师：请你当裁判。小东同学说，如果一个数的平方等于(9)，那么这个数一定是(3)，他说的对吗？
生：他说的是错的，因为(3)与(-3)的平方都等于(9)，所以平方等于(9)的数有两个。
师：我们还知道(3)是(9)的算术平方根，那么数与数除了平方关系外还有什么关系呢？接下来我们一起走进平方根的课堂。
师：请根据上面的研究过程填表。平方等于(1)的数是(\pm1)；平方等于(16)的数是(\pm4)；平方等于(36)的数是(\pm6)；平方等于(49)的数是(\pm7)；平方等于(\frac{4}{25})的数是(\pm\frac{2}{5})。
师：同学们观察表中的两行数据，你发现了什么？
生：由表格观察可知，第一行的(1)、(16)、(36)、(49)、(\frac{4}{25})分别叫做(\pm1)、(\pm4)、(\pm6)、(\pm7)、(\pm\frac{2}{5})的平方。我们把第二行的(\pm1)叫做(1)的平方根，(\pm4)叫做(16)的平方根，类似的，(\pm\frac{2}{5})叫做(\frac{4}{25})的平方根。
师：同学们，你能类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？
生：一般的，如果一个数的平方等于(a)，那么这个数叫做(a)的平方根或二次方根。如果(x^2 = a)，(x)叫做(a)的平方根或二次方根。例如，因为((\pm3)^2 = 9)，(\pm3)叫做(9)的平方根或二次方根。
师：如果(x)是正数(a)的一个平方根，那么(a)的平方根有两个，(x)与(-x)，即正数的平方根互为相反数。有了平方根概念的学习，下面请看练习，判断下列说法是否正确。
(-2)是(4)的平方根。
(1)的平方根是(1)。
(-1)的平方根是(-1)。
(0.01)是(0.1)的一个平方根。
(0)的平方根还是(0)。
生：1. 正确；2. 错，(1)的平方根是(\pm1)；3. 错，找不到一个数的平方等于(-1)；4. 错，因为(0.01^2 = 0.0001)；5. 正确。
师：同学们，你们判断对了吗？同学们，你能类比算术平方根的符号表示，想一想非负数的平方根用符号怎样表示呢？
师：正数(a)的平方根的表示方法，数学中通常用(\sqrt{a})表示(a)的正的平方根，也表示(a)的算术平方根；(-\sqrt{a})表示(a)的负的平方根，记作(\pm\sqrt{a})。因此(a\geq0)的平方根，可以用符号(\pm\sqrt{a})表示，读作“正负根号(a)”。例如，(9)的平方根是(\pm3)，我们可以用符号表示为(\pm\sqrt{9}=\pm3)。同学们，你能再举出几个类似的例子吗？
生：例如(16)的平方根是(\pm4)，可以表示为(\pm\sqrt{16}=\pm4)；(49)的平方根是(\pm7)，可以用符号表示为(\pm\sqrt{49}=\pm7)。
师：这样的例子还有很多。下面请看练习。“(4)的平方根是(\pm2)，用数学符号表示正确的是”，这道题选什么？
生：选(d)。
师：同学们今后在做这样题目的时候，要注意平方根和算术平方根符号表示的区别。请同学们观察两图，思考两图中从左到右的运算分别叫做什么运算？
生：第一个图已知一个数，求它的平方的运算，叫平方运算。
师：我们把第二个图中已知一个数求平方根的运算叫做开平方，即求一个数(a)的平方根的运算叫做开平方。同学们，两图中的运算有什么关系呢？
生：通过观察可以得到开平方运算与平方运算互为逆运算。
师：根据这种互逆关系，我们可以求一个数的平方根。下面请看例(4)。求下列各数的平方根。
(100)是一个正数，所以有两个平方根。因为((\pm10)^2 = 100)，所以(100)的平方根是(\pm10)，即(\pm\sqrt{100}=\pm10)。
(\frac{9}{16})也是一个正数，所以也有两个平方根。因为((\pm\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16})，所以(\frac{9}{16})的平方根是(\pm\frac{3}{4})，即(\pm\sqrt{\frac{9}{16}}=\pm\frac{3}{4})。
(0.25)也是一个正数，所以也有两个平方根。因为((\pm0.5)^2 = 0.25)，所以(0.25)的平方根是(\pm0.5)，即(\pm\sqrt{0.25}=\pm0.5)。
师：通过这些题目的解答，你发现了什么？可以结合老师给出的几个问题进行思考。正数的平方根有什么特点？(0)的平方根是多少？负数有平方根吗？
生：正数有两个平方根，且互为相反数；(0)的平方根还是(0)；负数没有平方根，因为任何数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根。
师：由此，我们归纳出了平方根的性质：1. 正数有两个平方根，它们互为相反数；2. (0)的平方根还是(0)；3. 负数没有平方根。
师：有了以上知识的学习，我们可以求出相关的值。下面请看例(5)。请说出下列各式表示的意义，并求出它们的值。
(\sqrt{36})，它表示(36)的正的平方根，也表示(36)的算术平方根。因为(6^2 = 36)，所以(\sqrt{36}=6)。
(-\sqrt{0.81})，它表示(0.81)的负的平方根，也表示(0.81)的算术平方根的相反数。因为(0.9^2 = 0.81)，所以(-\sqrt{0.81}=-0.9)。
(\pm\sqrt{\frac{49}{9}})，它表示(\frac{49}{9})的平方根。因为((\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9})，所以(\pm\sqrt{\frac{49}{9}}=\pm\frac{7}{3})。