师：同学们，大家好。前面我们学习了用代入法解二元一次方程组，那还有没有其他方法呢？今天，就让我们带着这个问题继续学习第八章第二节——消元解二元一次方程组。首先，我们来回顾一下前面几节课的主要知识内容。解二元一次方程组的基本思路是什么？
生：解二元一次方程组主要通过代入法减少未知数的个数，把二元一次方程组转化为一元一次方程，达到消元、解出未知数的目的。
师：非常好。在上节课中，我们学习了用代入法求方程组(x + y = 10)，(2x + y = 16)的解，大家还记得是如何解的吗？我们一起来回顾一下。
生：我们当时把方程一变形为(y = 10 - x)，再把(y = 10 - x)代入到方程二，使方程二转化为一元一次方程，解这个一元一次方程可得(x)的值，再把求出的(x)的值代回方程一，就能得到(y)的值，这样就把这个方程组解出来了。
师：没错。现在我们来思考一下，有没有新的方法来解决这个方程组。老师给大家一个小提示，请观察这个方程组的两个方程中(y)的系数有什么关系，利用这种关系，能不能发现新的消元方法呢？
生：在这个方程组中，方程一(y)的系数为(1)，方程二(y)的系数也为(1)，(y)的系数相等。
师：那该如何操作能够达到消元的目的呢？
生：可以用减法。依据等式的性质一，把方程二的两边同时减去(x + y)的和，方程仍然成立。又因为方程组中(x + y = 10)，根据等量代换，把(x + y)的和替换为(10)，得到的方程就是用方程二的左边减去方程一的左边，方程二的右边减去方程一的右边，继续计算可以得到(x = 6)。所以通过把这两个方程相减，即方程二减方程一可以消去未知数(y)。
师：非常棒。继续计算，把(x = 6)代入方程一，可得(y = 4)，由此我们就得到了这个方程组的解(x = 6)，(y = 4)。现在同学们可能会有疑问，既然方程二减方程一可以消去未知数(y)，那么方程一减方程二也能消去未知数(y)求得(x)吗？我们一起来试一试。
生：如果用方程一减去方程二，即((x + y) - (2x + y) = 10 - 16)，通过计算能得到(-x = -6)，所以(x = 6)。可见方程一减方程二也可以消去未知数(y)。
师：通过这道题，联系上面的解法，想一想怎样解这个方程组(\begin{cases}3x + 10y = 2.8 \ 15x - 10y = 8\end{cases}) ？这道题和刚刚的题似乎有所不同。
生：这道题中任何一个未知数的系数都不相等，但是观察(y)的系数，方程一中(y)系数是(10)，方程二中(y)的系数是(-10)，它们互为相反数。因为互为相反数的和为(0)，所以可以想到两个方程相加。
师：对。把方程一和方程二相加就可得到(18x = 10.8)，解得(x = 0.6)。进一步计算，把(x = 0.6)代入方程一，可以得到(y = 0.1)，这样这个方程组的解就是(x = 0.6)，(y = 0.1)。我们把刚刚这两道题结合在一起归纳一下，当我们遇到方程组中某个未知数的系数相等或者互为相反数时，可以把方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数。探究到这里，大家应该已经找到本节课开始那个问题的答案了，也就是找到一种新的方法来解二元一次方程组。没错，这种方法就是——
生：当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
师：非常好，加减法和代入法一样，是我们解决二元一次方程组主要的消元方法。了解了加减法的概念后，大家是不是已经跃跃欲试了？我们来看一道练习题，请思考一下如何用加减法解这个方程组(\begin{cases}3x - 7y = 5 \ 3x + 7y = 6\end{cases}) ，解出来了吗？
生：如果想要消去未知数(x)，方程一中(x)系数是(3)，方程二中(x)系数也是(3)，属于同一个未知数系数相等的情况，可以直接把这两个方程相减，即方程二减方程一就可以得到(14y = 1)，把(y = \frac{1}{14})代入方程一即可得(x)的值为(\frac{23}{14})。
师：有些同学可能有不一样的想法，是不是消去的是另一个未知数呢？
生：是的，在这个方程组中，(y)的系数一个是(-7)，一个是(7)，它们互为相反数。所以也可以把它们进行相加来消去未知数(y)得到一元一次方程(6x = 11)，解出(x = \frac{11}{6})。再把(x = \frac{11}{6})代入方程二，得到(y = \frac{1}{14})。
师：实际上这两种解法都是可行的，同学们在日后做题中，只要遵循加减法的规律，消去哪一个未知数都可以。好，接下来我们继续探索用加减法解这个方程组(\begin{cases}8x + 9y = 73 \ 17x - 3y = 74\end{cases}) 。观察这个方程组，发现(x)的系数是(8)和(17)，(y)的系数是(9)和(-3)，既不相等也不相反。再观察(y)的系数，(9)是(3)的整数倍，该怎么解呢？
生：可以通过把方程二乘以(3)，依据等式的性质二，得到(51x - 9y = 222)（方程三）。此时和方程一比较，两个方程中(y)的系数互为相反数，把它们相加来消去未知数(y)，得到关于(x)的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出(x)的值，求出(x)的值后把它代入方程一，继续求解能得到(y)的值等于(\frac{11}{3})，这样整个方程组的解就是(x = 5)，(y = \frac{11}{3})。
师：这道题属于同一个未知数的系数的绝对值成整数倍关系的二元一次方程组。我们是通过其中一个方程进行变形，即让它乘以这个倍数，再利用加减法求解。接下来做一道题巩固一下这个知识(\begin{cases}5x + 2y = 25 \ 3x - 4y = 10\end{cases}) ，解出来了吗？
生：方程一与方程二中(y)的系数是整数倍关系，可以把方程一进行变形为(10x + 4y = 50)（方程三），这样方程三与方程二的(y)系数就相同了，可以进行相减，方程三减方程二就能得到(7x = 35)，解出(x)的值，再把(x = 5)代入方程一，可以得到(y)的值等于(0)。