师：各位同学，大家好。前面我们学习了人教版七年级下册第七章平面直角坐标系的有关知识，本节课我们对这一章进行复习和小结。首先，来看本章的知识结构图，它呈现了所学内容的内在联系。为确定平面内点的位置，我们学习了建立平面直角坐标系的方法，通过确定点的坐标来表示点的位置。平面直角坐标系能建立点与坐标间一一对应的关系，构建了图形与数量间的内在联系，为今后研究几何问题和代数问题的相互转换奠定了基础。下面，来看本章的知识要点。
一、有序数对的概念：用含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，这两个数各自表示不同的含义。我们把这种有顺序的两个数(a)与(b)组成的数对叫做有序数对，记作((a,b))。要注意，有序数对中的两个数是有顺序的，顺序不同表示的含义不同，有序数对能够表示一个确定的位置。下面来看一个例题。如图是故宫博物院的部分建筑分布图，如果用((3,1))表示太和门的位置，((1,5))表示养心殿的位置，请同学们用有序数对的知识分别把图中保和殿、景仁宫、九龙壁的位置表示出来。
师：好，我们来看图。太和门位于第(3)列第(1)行，养心殿位于第(1)列第(5)行。结合有序数对的表达形式，都是将表示列的数写在前面，表示行的数写在后面。那么保和殿位于图中第(3)列第(3)行，所以保和殿的位置是((3,3))；景仁宫位于第(5)列第(6)行，所以景仁宫的位置是((5,6))；九龙壁位于第(7)列第(3)行，所以九龙壁的位置是((7,3))。
下面我们复习第二个知识点：平面直角坐标系。首先回顾它的有关概念，请同学们跟着老师齐读，一起完成填空。在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴，称为(x)轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为(y)轴或纵轴，习惯上取向上为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。平面直角坐标系内的点与有序实数对，即点的坐标一一对应。
接着回顾坐标与象限。点(A)是平面直角坐标系内的一点，过点(A)分别向(x)轴、(y)轴作垂线，(x)轴上的垂足表示(a)，(y)轴上的垂足表示(b)，那么有序数对((a,b))就能表示点(A)的坐标，其中(x)轴上的(a)表示横坐标，(y)轴上的(b)表示纵坐标。书写时，横坐标在前，纵坐标在后。由于平面直角坐标系的建立，两坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每个部分称作象限，分别是第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。其中第一象限内的点横坐标为正，纵坐标为正，简记为“正正”；第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，简记为“负正”；第三象限内的点横坐标为负，纵坐标为负，简记为“负负”；第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，简记为“正负”。还要注意，坐标轴上的点不在任何象限内。下面用以上知识来解决两个问题。若点(P(a,b))在第二象限，则点(Q(b - a,a - b))在第几象限？请同学们结合象限内点的坐标特征给出结果。
师：好，我们来看。因为点(P)在第二象限，所以横坐标(a\lt0)，纵坐标(b\gt0)。那么(b - a)，正数减负数，结果大于(0)；(a - b)，负数减正数，结果小于(0)。点(Q)的坐标可简记成“正负”，横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限，所以点(Q)在第四象限。下面再来看一个问题，请同学们根据给出的平面直角坐标系内各点的位置，写出下列各点的坐标。
师：我们知道，根据坐标的表示方法，过点(A)分别向(x)轴、(y)轴作垂线。在(x)轴上的垂足(-3)表示(A)点的横坐标，在(y)轴上的垂足(3)表示(A)点的纵坐标，那么点(A)的坐标是(( - 3,3))。用同样的方法，过点(B)向(x)轴、(y)轴做垂线，在(x)轴上的垂足为(0)，在(y)轴上的垂足为(-4)，那么点(B)的坐标为((0, - 4))。用同样的方法，我们可以写出(C)点坐标为((5,0))，(D)点坐标为(( - 5, - 5))。接着，请同学们判断给出的这个命题是真命题还是假命题：已知(P)点在第一象限，到(x)轴的距离是(2)，到(y)轴的距离是(4)，则(P)点的坐标为((2,4))。
师：根据点到坐标轴的距离的意义，在第一象限内到(x)轴的距离是(2)的点，它的纵坐标为(2)；到(y)轴的距离是(4)的点，它的横坐标是(4)，那么点(P)的坐标应该为((4,2))，所以这个命题是个假命题。最后我们来看一个变式，去除第一象限的条件，请同学们思考此时满足条件的(P)点坐标有哪些呢？
师：如图，我们不难发现，点到(x)轴的距离是(2)，这个点有可能在(x)轴的上方，也有可能在(x)轴的下方。所以点有可能在第四象限，坐标为((4, - 2))；同样，到(y)轴的距离是(4)的点，有可能在(y)轴的右侧，也有可能在(y)轴的左侧，所以第二、三象限内各有一点，坐标分别是(( - 4,2))或(( - 4, - 2))。所以同学们要理解点到坐标轴距离的含义。当点坐标为((a,b))时，横坐标(a)表示的是点到(y)轴的距离是(\vert a\vert)；纵坐标(b)表示的是点到(x)轴的距离是(\vert b\vert)。同时，同学们在思考问题时要考虑充分，要学会用数形结合的方法来分析问题、解决问题。图中我们还能归纳出一些特殊点的坐标特征，比如说(x)轴上的点，它们的纵坐标为(0)；(y)轴上的点，它们的横坐标为(0)；与(x)轴平行的直线上的点，比如(P_1)、(P_3)所在直线上的点，它们的纵坐标相等；与(y)轴平行的直线上的点，比如(P_1)、(P_2)所在直线上的点，它们的横坐标相等。第三象限角平分线上的点，比如(D)、(O)所在直线上的点，它们的横坐标与纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点，比如(A)、(O)所在直线上的点，它们的横坐标与纵坐标互为相反数。理解并掌握这些特殊点的坐标特征，能够帮助我们快速地找到问题的本质。下面我们来看一个例题。已知(A)点坐标((2,3))，(B)点坐标((2 - a,3a + 6))，且直线(AB)与坐标轴平行，求点(B)的坐标。
师：好，我们一起来分析。因为直线(AB)与坐标轴平行，那么究竟是跟(x)轴平行还是跟(y)轴平行呢？所以这里我们可以采用分类讨论的思想。第一种情况，当直线(AB)与(x)轴平行时，我们知道与(x)轴平行的直线上的点，它们的纵坐标相等，也就是(A)点的纵坐标等于(B)点的纵坐标，那么(3 = 3a + 6)，解得(a = - 1)，进而算出(2 - a = 3)，所以(B)点坐标为((3,3))。第二种情况，当直线(AB)平行于(y)轴时，我们知道平行于(y)轴的直线上的点，它们的横坐标相等，也就是点(A)的横坐标等于点(B)的横坐标，那么(2 = 2 - a)，解得(a = 0)，进而求出(3a + 6 = 6)，所以(B)点坐标为((2,6))。最后规范书写：综上所述，(B)点坐标为((3,3))或((2,6))。