师：同学们大家好，今天我们开始学习第六章实数的第一节——平方根的第一课时。大家还记得我们伟大祖国建国70周年庆典时阅兵的盛大场面吗？请看，一个3×3的坦克方阵向我们驶来，这个方阵里有多少辆坦克呢？你是怎么算出来的？
生：3×3 = 32 = 9。
师：非常好。那4×4的东风快递方阵是由几辆运载卡车组成的呢？
生：16辆。4×4 = 42 = 16。
师：没错。现在有400名军人准备组成一个n×n的方阵，请问每一排应该安排多少人呢？
生：20人。
师：你是怎么算出来的呢？
生：因为202 = 400，所以每排每列都为20人时，可以组成一个400人的方阵。
师：很棒。如果是625人准备组成方阵，每一排应该安排多少人呢？
生：25个人。
师：你又是怎么算出来的呢？
生：因为252 = 625。
师：刚才我们的这些问题在运算上有什么关系呢？前两个问题我们已知一个正数，求出了这个正数的平方；后两个问题我们已知某一个正数的平方，求出了这个正数。后者的运算过程与平方是互为逆运算的，而它也将成为今后我们解决问题新的帮手。
一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2 = a，我们知道a叫做x的平方，那正数x叫做a的什么呢？我们给它们这种关系起了个名字，叫算术平方根。有了新的关系，我们再给它配以专用的表示方法。看这里，我们将其表示为“√a”，这一部分“√”叫做根号，此时的a我们称它为被开方数。在刚才的问题中，因为正数20的平方等于400，所以我们就说20是400的算术平方根，也可以说400的算术平方根是20。如果用符号语言来表示的话，我们可以记为√400 = 20 。那√400是什么含义呢？
生：它表示400的算术平方根。
师：所以这个式子的意义实际就是400的算术平方根是20。老师问大家一个问题，0的平方等于多少呀？
生：0。
师：所以我们特别规定了0的算术平方根也是0。我们一起再来看一下算术平方根的定义，并且回答老师提出的问题。首先，正数x与a的关系是什么？
生：x的平方等于a。
师：那么x可以是什么数呢？
生：一般的x是正数，特别的作为算术平方根来说它可以是0，所以算术平方根的值应该是一个非负数。
师：非常好。那算术平方根中的被开方数又可以是哪些数呢？负数有没有算术平方根呢？请大家结合定理由思考一下。
生：由算术平方根的定义，当x为正数时，a为正数；当x为0时，a的值为0，所以被开方数a也是非负数。
师：综上，在算术平方根的定义中，算术平方根本身的值和它的被开方数都是非负数。生活中常能接触到算术平方根的应用。学校要举行热爱祖国美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，粘贴出自己满意的剪贴画去参赛。那这块画布的边长应该取多少呢？
生：因为52 = 25，所以这个正方形画布的边长取5分米就可以满足要求。
师：这实际是不是就是已知一个正数25，求它算术平方根的过程呢？小欧在做剪拼画的过程中，将两个边长为1分米的小正方形拼成了一个大正方形。显然大正方形的面积为2平方分米，这个大正方形是客观存在的，它的边长也是客观存在的。大正方形的边长是多少呢？
生：设大正方形的边长为x分米，由正方形面积公式可知x2 = 2，x是2的算术平方根，但在我们学过的有理数中，似乎不存在这样的数满足它的平方值等于2 。
师：这个问题我们如何解决呢？
生：可以将x记为√2。
师：这也是我们为什么要给算术平方根一个专有表示方法的原因之一。我们初步了解了什么是算术平方根，下面通过例题检验一下大家掌握的情况。请看第一题，请仔细阅读下面几个说法，并判断它们的正误。同学们，你已经有自己的判断结果了吗？我们一起来分析一下。要想确定一个非负数的算术平方根，我们就要找到哪一个非负数的平方等于它。第一个问题中，5是一个正数，它的平方等于25，所以正数5的确是25的算术平方根，所以第一个判断是对的。虽然 - 3的平方等于9，但 - 3是一个负数，算术平方根必须是非负数，所以 - 3不是9的算术平方根，9的算术平方根应该是3，所以第二个判断应该是错的。刚才我们特别规定了0的算术平方根是0，记住这个结果，第三句话是对的。1/2的算术平方根是不是1/4？我们只要检验1/4的平方是否为1/2就可以了，1/4的平方等于1/16，所以1/2的算术平方根不是1/4，第四句话是错误的。你还记得√2的含义吗？