师：同学们，大家好。今天我们来学习初中数学人教版七年级下册第十章第一节统计调查第三课时——实验与探究，用样本估计总体之“捉放捉”，探究瓶子中有多少粒豆子。
在前面几节课，我们学习了全面调查和抽样调查。其中，抽样调查是根据部分来估计总体情况，它调查范围小，能节省时间、人力和物力，但调查结果只是估计值，并非准确值。抽样调查在生活中应用广泛。接下来看个问题：一个瓶子装有一些豆子，能用几种方法估计瓶子里豆子的数目呢？大家可以在家取一把豆子或大米试试。
要知道豆子数目，我们可以用全面调查，即直接数豆子数量，不过这种方法适用于豆子数目较少的情况。若数目较多，就可采用抽样调查，也就是用样本来估计总体数目。同学们思考一下，怎样通过抽样调查估计瓶子里豆子的数量呢？
使用抽样调查，首先要选取样本，确定样本容量。在抽样调查中，样本容量的确定很重要，样本容量太大会造成人力、物力和财力的浪费；样本容量太小，抽样误差会过大，导致调查结果与实际情况相差大，影响调查效果。第二步，对抽取的样本进行标记。第三步，把标记好的样本放回瓶中，充分混入总体。第四步，再取一部分，记录这部分的数量以及含有刚才被标记样本的数量，最后通过计算估计出总体的值。同学们，要估计瓶子里豆子的数目，该怎么操作呢？我们先通过一段视频了解实验操作全过程。
实验用具：黑白棋子、大小烧杯、培养皿、布袋。
将大小和质地一致的黑白棋子分别倒入大小两个烧杯，从大小烧杯中分别取出黑白色棋子各50粒，把50粒黑色棋子倒入盛放白色棋子的大烧杯，充分混合均匀。想一想，白色棋子代表什么？把混匀的两种棋子倒入布袋。
从布袋中随机抓取棋子，连续抓取20粒放在培养皿中。数一下培养皿中的20粒棋子，有几粒是黑色的？能推算出大烧杯中原先的黑色棋子数量吗？黑色棋子代表被标记过的对象，培养皿中黑色棋子在20粒棋子中所占比例，相当于50粒黑色棋子在所有棋子中所占比例。重复三次计算平均值，第一次摸出黑子2粒，在20粒棋子中所占比例为10%；第二次摸出黑子3粒，在20粒棋子中所占比例为15%；第三次摸出黑子9粒，在20粒棋子中所占比例为45%，三次平均比例为25%。根据这个数据推算，口袋里黑白子总数为50÷25% = 200个，白子个数推算值为150个，数清白色棋子数为147个。与计算值比较，说明“标记重捕法”推算出的结果是真实有效的。
老师自己做了一次实验，大家先仔细听，然后自己动手操作。第一步，老师先取出一些豆子，记录这些豆子的粒数m；第二步，给这些豆子做上记号；第三步，把做记号的豆子放回瓶中，充分摇匀；第四步，从瓶子中再取一些豆子，记录取出的这些豆子的粒数为p；最后，从这些豆子中数出带有记号的豆子的粒数记为n。同学们想一想，如何利用这些数据估计总体数目呢？请在草稿纸上计算一下。
老师带大家分析，第二次取出的豆子中标记的豆子所占比值是多少？对，是(\frac{n}{p})。和第一次取出的豆子相比，因为已经充分摇匀，两次标记的豆子所占比值有什么关系呢？非常好，第一次被标记的豆子粒数m与总数的比值，和第二次带有记号的豆子粒数n与第二次取出的豆子粒数p的比值相等，所以豆子的总数q应该等于(\frac{mp}{n})。大家是这样思考的吗？接下来请同学们用准备好的豆子或米粒，尝试分四次操作，利用下面的表格做记录，并分别计算出总量。
像这样的过程就是用样本来估计总体的过程。一般情况下，如果总体容量较大，不便分析其数据特征，我们可以通过随机抽取一定样本，通过样本的数据特征来估计总体数据，但难免会有误差。所以同学们计算出的4组q可能存在不同，这是正常现象。
下面我们尝试估计池塘里鱼的数量。为估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞1000条鱼做上标记，然后放回池塘。经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，估计池塘里有多少条鱼呢？
参照估计豆子粒数的方法，把第一次被标记的鱼的数量1000条记为m，第二次取出的鱼的数量200条记为p，第二次取出的带有标记的鱼10条记为n，那么池塘中鱼的总量q是多少呢？根据前面的研究，(\frac{m}{q}=\frac{n}{p})，所以(q = \frac{mp}{n})，即(1000×200÷10 = 20000)条。
像这样估计总体数量的方法，我们叫做计数法。使用计数法时，通常把总数记为q，先取出m个做标记，放回摇匀，再取出p个，数出其中有记号的n个，这时可计算出总数(q = \frac{mp}{n})。同学们，想一想，还有其他方式估计豆子数量吗？用称重的方式可行吗？像刚才那样，取出部分豆子称出重量，数出数量，再称出总体重量，能否估算出豆子数量呢？我们可以这样操作，把豆子总数记为q，先取出m个测重量为n个重量单位，放回再称总重量为p个重量单位，这样可计算总数(q = \frac{mp}{n})。像这样的方法我们称为称重法。