师：同学们好，今天我们学习初中数学，北京师范大学出版社七年级下册第三章变量之间的关系，第二课用关系式表示变量间的关系。我们生活在一个不断变化的世界，经常会遇到各种变化的量。通过上节课学习，我们知道了什么是自变量，什么是因变量。下面请指出下列变化过程中的自变量和因变量。人的身高随年龄增长而增高，年龄是自变量，身高是因变量；我国人口随时间增长而增加，时间是自变量，人口是因变量；圆的面积随半径变化而变化，半径是自变量，面积是因变量。
上节课我们还知道，可以用表格表示两个变量之间的关系。那用表格表示有什么优点和缺点呢？优点是能直观呈现两个变量之间的关系，缺点是只能反映有限个数值间的关系。这节课我们就来学习用关系式表示两个变量之间的关系。同学们，小学时我们学过三角形，决定三角形面积的因素有哪些呢？我们知道三角形面积等于二分之一乘以底乘以高，显然，决定三角形面积的因素是底边长度和高的长度。
如图，三角形ABC底边BC上的高是6厘米。当三角形顶点C沿着底边所在直线向B运动时，三角形面积发生了怎样的变化？大家观察这个图形，能发现三角形面积随着底边BC长度的变化而变化。在这个变化过程中，自变量是三角形底边BC的长度，因变量是三角形ABC的面积。如果三角形底边BC长为x厘米，那么三角形面积y平方厘米可以表示为：我们用y表示面积，根据三角形面积公式可得y = ? × x × 6 = 3x。
当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形面积从多少平方厘米变化到多少平方厘米呢？已知关系式y = 3x，当底边x = 12厘米时，把12代入关系式，可得y = 3 × 12 = 36平方厘米；当底边x = 3厘米时，代入关系式得y = 3 × 3 = 9平方厘米。由此可见，只要给出一个自变量x的值，就能利用上学期所学求代数式的值的方法，求出对应的因变量y的值。
y = 3x表示了三角形底边长x和面积y之间的关系，这就是变量y随x变化的关系式。用关系式表示两个变量之间的关系，需要注意什么呢？要把含有自变量x的表达式写在等式右边，含有因变量的表达式写在等号左边，且因变量系数为1，自变量取值要符合实际意义。这里x表示三角形底边长，不能取负数。这个关系式还可以用上学期学的数值转换机直观表达出来，请同学们利用数值转换机完成这个表格。大家都计算对了吗？通过表格可以直观发现，当x = 10时，y = 30；当x = 9时，y = 27；当x = 8时，y = 24，能清晰反映变量间的对应关系，这是表格的优点。那关系式有什么优点呢？给出一个自变量的值，就能求出相应的因变量的值。
如果给出一个因变量的值，能求出自变量的值吗？比如当三角形面积为21平方厘米时，底边长为多少厘米？面积为21，即关系式中的y = 21，那么3x = 21，解这个方程可得x = 7厘米。所以给定一个自变量的值，求因变量的值，要用求代数式的值的方法；给出一个因变量值，求自变量值就要转化为方程来解决。
我们探讨了平面图形间的数量关系，接下来探究一下立体图形中变量之间的关系。大家还记得圆锥的体积公式是什么吗？V = ?πr2h，这里V表示圆锥体积，r表示圆锥底面半径，h表示圆锥的高。
如图，圆锥高度是4厘米，当圆锥底面半径由小到大变化时，圆锥体积也随之变化。在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么呢？圆锥体积随底面半径变化而变化，所以自变量是圆锥底面半径，因变量是圆锥体积。如果圆锥底面半径为r厘米，那么圆锥体积V与r的关系式是什么呢？根据圆锥体积公式，高h = 4厘米，代入可得V = ? × π × r2 × 4 = 4/3πr2。
当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥体积由多少立方厘米变化到多少立方厘米呢？已知自变量r的值，利用求代数式值的方法可求因变量V的值。当r = 1时，V = 4/3π × 12 = 4/3π立方厘米；当r = 10时，V = 4/3π × 102 = 400/3π立方厘米。
这一题研究了圆锥体积随底面半径变化的情况，下面再看圆锥体积随高变化的情况。如图，圆锥底面半径是2厘米，当圆锥高由小到大变化时，圆锥体积也随之变化。在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么呢？圆锥体积随高变化而变化，所以自变量是圆锥的高，因变量是圆锥体积。如果圆锥高为h厘米，那么圆锥体积V与h之间的关系式是什么呢？根据圆锥体积公式，底面半径r = 2厘米，代入可得V = ? × π × 22 × h = 4/3πh。
当高由1厘米变化到10厘米时，圆锥体积由多少立方厘米变化到多少立方厘米呢？在关系式V = 4/3πh中，当自变量h = 1时，代入可得V = 4/3π立方厘米；当h = 10时，代入得V = 40/3π立方厘米。
通过圆锥中变量之间的关系，我们再次体会到用关系式表示两个变量关系的优点，给出一个变量值，就能求出另一个变量的值。