师：同学们好，欢迎来到数学课堂。今天我们学习初中数学北师大版七年级下册第一章第五节平方差公式第二课时。上节课，我们从一般多项式乘法中发现了一类特殊的多项式乘法，即两数和与两数差的乘积，结果为两数的平方之差，我们把它称为平方差公式，并运用多项式乘法运算法则进行了验证。
这节课，我们换个角度再探平方差公式。同学们看平方差公式中的(a2)和(b2)，能联想到什么图形呢？
生：正方形。(a2)是边长为(a)的正方形的面积，(b2)是边长为(b)的正方形的面积。
师：非常正确。那么(a2 - b2)就是边长为(a)的正方形中减去一个边长为(b)的小正方形后，剩余部分的面积。接下来，我们的拼图游戏就从这个剩余部分的图形开始。大家想一想，能将阴影部分图形通过裁剪拼接成熟悉的规则几何图形吗？注意，只剪一刀。现在同学们可以拿出剪刀和纸，动手剪一剪、拼一拼。操作过程中要注意安全哦。
（学生动手操作）
师：有的同学是沿这条虚线将阴影部分图形裁剪开，得到两个长方形。与原图对比，上面长方形的长是(a - b)，宽为(b)；下面长方形的宽为(a - b)，长为(a)。再将这两个长方形相等的(a - b)边重合在一起，就拼成了一个大长方形。这个大长方形的长是多少呢？
生：(a + b)。
师：没错，那么这个大长方形的面积就可以记为((a + b)(a - b))。与原图面积对比，原图面积表示为(a2 - b2)。由于整个裁剪拼接过程面积不变，所以可得((a + b)(a - b)=a2 - b2)。是不是很惊讶？我们通过裁剪拼接，利用面积不变得到了熟悉的平方差公式。不过，有同学说自己裁剪方法不一样，这会不会影响结论呢？我们一起来看看。
（展示另一种裁剪方法）
师：有位同学是这样裁剪的，沿着图中的虚线将阴影部分图形裁剪开，成为两个直角梯形。对照原图，这两个直角梯形的高都是(a - b)，上底都是(b)，下底都是(a)。再将这两个直角梯形的(a - b)边重合，就拼成了一个等腰梯形。这个等腰梯形的上底是(2b)，下底是(2a)，所以梯形面积是(\frac{1}{2}(2a + 2b)(a - b))。将(\frac{1}{2})与第一个多项式相乘，得到((a + b)(a - b))。与原图面积对比，仍然可得((a + b)(a - b)=a2 - b2)。当然，可能还有同学按其他方式进行拼接，但相信最后拼接图形的面积也是((a + b)(a - b))，都能得出((a + b)(a - b)=a2 - b2)。
通过刚才的过程，同学们发现了吗？我们还可以用几何图形重组来解释平方差公式，是不是对平方差公式有了更直观的认识？这种直观认识帮助我们更深刻地理解和记忆平方差公式，这就是数形结合的好处，数学上称之为数形结合的思想。下面请同学们打开思路，用公式解决问题。
想一想，计算下列各组算式。第一组(7×9)、(8×8)，大家口算一下。
生：(7×9 = 63)，(8×8 = 64)。
师：第二组(11×13)、(12×12)。
生：(11×13 = 143)，(12×12 = 144)。
师：第三组(79×81)、(80×80)。
生：(79×81 = 6399)，(80×80 = 6400)。
师：请同学们观察上面的算式和结果，有什么发现？我们把这三组算式放在一起对比看看。第一组算式(7×9)比(8×8)小(1)，即(7×9 = 8×8 - 1 = 82 - 1)。同样，第二组(11×13 = 12×12 - 1 = 122 - 1)。第三组(79×81 = 80×80 - 1 = 802 - 1)。同学们，通过对比这三组算式，发现它们的共同特征了吗？能不能用自己的语言准确描述？
生：一个自然数的平方比它相邻两数的积大一。
师：非常好。那有没有更简明的方式表示这个发现呢？我们可以用字母(a)来表示这个自然数，那么与它相邻的两数就可以分别表示为(a - 1)，(a + 1)。这个猜想就可以用符号语言表示为(a2 - 1 = (a - 1)(a + 1))。这个猜想对吗？大家会验证这个等式吗？对于等式的验证，我们可以从左往右，也可以从右往左。这个等式我们不妨从右边开始看，因为它符合平方差公式，左式也是我们熟悉的整式乘法运算。((a - 1)(a + 1))，直接运用平方差公式可得(a2 - 1)，所以这个等式成立，我们的猜想是正确的。
那么利用这个猜想，能不能快速求出(99×101)的结果呢？在没有前面的探索之前，可能需要用草稿纸计算。但结合刚才的分析，(99)与(101)都与(100)相邻，所以可以把(99×101)化成((100 - 1)(100 + 1))，符合平方差公式结构特征，它等于(1002 - 1)，直接算出(9999)，整个过程可以口算完成。
同学们，发现了吗？尽管两个数字相乘不满足平方差公式结构特征，但通过数字间的差值分析，可以将其转化成符合平方差公式结构特征的式子，借助平方差公式简化运算。这个过程就是构造平方差公式模型的过程，通过这个过程，我们还可以解决下面这些计算问题。一起来看。