师：同学们，大家好，欢迎回到数学课堂。今天这节课我们要学习初中数学沪科版七年级上册第三单元《二元一次方程组及其解法》的第二课时。在开始新课之前，先请大家回忆一下上节课学了哪些内容。上节课我们学习了二元一次方程和二元一次方程组的定义，大家还记得什么是二元一次方程，什么是二元一次方程组吗？
生：含有两个未知数的一次方程，叫做二元一次方程。由两个一次方程组成，含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组。
师：非常好。下面请大家根据定义，快速完成这个小练习，判断下列哪些是二元一次方程，哪些是二元一次方程组。先看第一个，我们知道二元一次方程必须是整式方程，而第一个式子含有分式，所以它不是二元一次方程。再看第二个，方程是(x + 2 = 4)，根据定义，二元一次方程要含有两个未知数，这个方程只含有一个未知数(x)，所以也不是二元一次方程。第三个，(x + y = 2)，它含有两个未知数，并且是一次方程，所以是二元一次方程。第四个是方程组，由两个一次方程组成，且含有两个未知数，是二元一次方程组。第五个方程含有两个未知数，它是二元一次方程吗？注意，这里方程最高次项(xy)次数为(2)，不是一次方程，所以不是二元一次方程。最后一个方程组，含有两个一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组。
我们已经认识了二元一次方程和二元一次方程组，那它们的解是什么样的呢？来看问题一，探究二元一次方程的解。你能找出满足二元一次方程(x + y = 2)的(x)、(y)的值吗？对于一元一次方程，找到一个未知数的值就行，但二元一次方程得同时找到两个未知数的值。能不能先确定其中一个未知数，再确定另一个呢？我们来试试。
如果(x = -2)，(y)等于几才能满足(x + y = 2)？把(x = -2)代入方程，(-2 + y = 2)，解得(y = 4)。所以(x = -2)，(y = 4)满足这个二元一次方程。那如果(y = \frac{1}{2})，(x)等于几能满足方程呢？同样把(y = \frac{1}{2})代入，解得(x = \frac{3}{2})，所以(x = \frac{3}{2})，(y = \frac{1}{2})也满足方程。(x)、(y)能不能取无理数呢？当然可以，比如(x = \pi)，(y = 2 - \pi)就满足方程。下面请大家用同样方法完成关于(x + y = 2)的表格。完成了吗？对照一下正确答案，在这个过程中有什么发现？
生：要满足二元一次方程，得同时找到两个未知数的值，而且满足方程的两个未知数的值不唯一，像(x = -2)，(y = 4)；(x = -1)，(y = 3)；(x = 0)，(y = 2)等等。
师：没错，能使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值就是二元一次方程的解，在没有限制条件时，二元一次方程的解不唯一。
那二元一次方程组的解又是什么样呢？观察二元一次方程组(\begin{cases}x + y = 2 \ x - y = 1 \end{cases})，第一个方程(x + y = 2)我们刚探究过，还列出了部分解的表格。请大家用同样方法完成关于(2x - y = 1)的部分解表格。先看第一列，(y = -5)时，(x)等于几能满足(2x - y = 1)？把(y = -5)代入，(2x - (-5) = 1)，解得(x = -2)，所以(x = -2)，(y = -5)满足这个二元一次方程。同理完成剩下四列。认真观察这两个表格，有什么共同点？这说明了什么？
生：两个表格都有(x = 1)，(y = 1)，说明(x = 1)，(y = 1)既满足第一个方程，也满足第二个方程。
师：非常好，像(x = 1)，(y = 1)这样，能使二元一次方程组里每个方程都成立的两个未知数的值，就叫做二元一次方程组的解。书写时常用大括号连接，比如这个二元一次方程组(\begin{cases}x + y = 2 \ x - y = 1 \end{cases})的解，就写为(\begin{cases} x = 1 \ y = 1 \end{cases})。现在大家认识二元一次方程组的解了吗？根据定义，完成下面这个选择题，二元一次方程组(\begin{cases}x + y = 5 \ 2x - y = 4 \end{cases})的解是谁呢？先看(A)选项，根据定义，二元一次方程组的解得有两个未知数的值，(A)选项只给出(x = 3)，所以(A)不是解。(B)、(C)选项怎么判断呢？根据定义，二元一次方程组的解要使方程组里每个方程都成立，把(B)、(C)选项中的值分别代入。
先看(B)选项，(x = -3)，(y = 2)，代入第一个方程(x + y = -3 + 2 = -1\neq5)，不满足第一个方程，排除(B)选项。再看(C)选项，(x = 3)，(y = 2)，代入第一个方程(x + y = 3 + 2 = 5)，代入第二个方程(2x - y = 2×3 - 2 = 4)，所以这个二元一次方程组的解是(C)选项。同学们，选对了吗？
刚才我们通过列方程组里每个方程的部分解表格找到二元一次方程组的解，实际求解中这种方法太复杂，有没有更简便的方法呢？回到上节课的问题，某班同学植树节买樟树苗和白杨树苗共(45)棵，樟树苗每棵(2)元，白杨树苗每棵(1)元，买这些树苗共花(60)元，求买的樟树苗和白杨树苗各多少棵？
这题可以列一元一次方程求解，设樟树苗(x)棵，因为共(45)棵，所以白杨树苗((45 - x))棵，又因为共花费(60)元，可列方程(2x + (45 - x) = 60)。当然也可以列二元一次方程组求解，设樟树苗(x)棵，白杨树苗(y)棵，根据共(45)棵可列(x + y = 45)，根据共花费(60)元可列(2x + y = 60)，组成二元一次方程组(\begin{cases}x + y = 45 \ 2x + y = 60 \end{cases})。
现在得到一个一元一次方程和一个二元一次方程组，观察它们有什么联系？方程组中第二个方程(2x + y = 60)和后面一元一次方程形式很像，但又有不同，(2x + y = 60)后面加(y)，一元一次方程是(2x + (45 - x) = 60)。大家想一想，(y)与(45 - x)有什么关系？怎么得到的？