师：亲爱的同学们，大家好！欢迎来到数学课堂。请拿出作业纸和作图工具，你们准备好了吗？这节课我们继续学习 4.3 第二课时。回顾上节课内容，谁能说出线段长短比较有哪些方法？
生：有目测法、度量法和叠合法。
师：非常好。用叠合法比较两条线段长短时，使两条线段的一个端点重合，另一个端点落在同一条直线上的同一侧。当另一个端点重合时，这两条线段相等；当这个端点落在其中一条线段内部时，这条线段较长；当落在延长线上时，另一条线段较长。那什么是线段的中点呢？
生：线段上一点，把这条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点，也叫线段的二等分点。
师：没错。如图，因为点 c 是线段 AB 的中点，所以 AC 等于 BC 等于 AB 的一半，AB 等于 AC 和 BC 的 2 倍。下面看几个问题。第一个问题，如图，点 d 是线段 AB 的中点，c 是线段 ad 的中点，若 AB 等于 8 厘米，求线段 CD 的长度。我们来分析一下，这道题有两个重要条件。一是点 d 是线段 AB 的中点，由此能得到线段 AB、ad、DB 之间的数量关系，且已知 AB 等于 8 厘米，就能求出 ad 或 DB 的长度。二是点 c 是线段 ad 的中点，知道 ad 的长度，就能把 CD 转化成 ad 的一半。所以解题过程如下：
因为 AB 等于 8 厘米，点 d 是线段 AB 的中点，所以 ad 等于$\frac{1}{2}$AB，即$\frac{1}{2}$×8 = 4 厘米。又因为点 c 是线段 ad 的中点，所以 CD 等于$\frac{1}{2}$ad，即$\frac{1}{2}$×4 = 2 厘米，也就是 CD 的长度是 2 厘米。也可以这样分析，CD 等于$\frac{1}{2}$ad，也就等于$\frac{1}{4}$AB，即$\frac{1}{4}$×8 = 2 厘米。大家学会了吗？
再看第二个问题，如图，已知点 c 在线段 AB 上，AB 等于 10，BC 等于 4，点 d 是线段 AB 的中点。所求的问题是 CD。大家思考一下，求线段 CD 需要哪些线段来完成？对于复杂数学问题，我们要问自己已知什么条件，利用这些条件能得到哪些结论，所求的线段又需要哪些条件。下面一起分析，已知 AB 等于 10，d 为 AB 中点，这样就能求出 BD 和 ad 的长度，都是 AB 的一半，即 5。又已知 BC 等于 4，观察图形会发现，DC 的长度可以表示成 DB 减去 BC，也就是 5 - 4 = 1，这是第一种方法。我再重复一遍，利用 AB 等于 10 的条件求出 AB 的一半，也就是 DB 的长度，然后用 DB 和 BC 的差解决问题。
还有别的方法吗？已知 AB 等于 10，BC 等于 4，观察图形可知 AC 的长度是 AB 与 BC 的差，即 AC 等于 6。那 CD 如何用 AC 来表示呢？CD 可以表示成 AC 减 ad，而利用 AB 等于 10，d 为 AB 中点的条件可知 ad 等于 5，所以 CD 等于 AC - ad = 6 - 5 = 1，这是第二种方法。我们把所求的线段转化成已知线段，从而解决问题。大家学会了吗？最后 CD 的长度等于 1。
下面看第三个问题，已知 A、B、C 三点在一条直线上，AB 等于 3，BC 等于 1，求线段 AC 的长度。同学们观察一下，这个问题和前面两个有什么区别？
生：前面两个问题有图，这个没给图。
师：非常好。那没给图怎么办？显然要根据条件先画图。题目说 ABC 三点在一条直线上，AB 等于 3 倍的 BC。我们可以先画出点 A 和点 B，再画点 C。点 C 应该在直线 AB 上，若先画 AB 的长度，BC 的长度就是 AB 长度的$\frac{1}{3}$；若先画 BC 的长度，AB 的长度就是 BC 长度的 3 倍。那点 C 在哪儿呢？
生：C 点可以在 B 点左侧。
师：没错，还有其他位置吗？
生：C 点也可以在 B 点右侧。
师：对。我们可以分别画出两个图形，解答时分别说明。也可以在一条直线上画出点 A 与点 B 的距离，把点 C 的两种位置关系分别用 C1、C2 来表示，解答时分类讨论。当点 C 在线段 AB 上时，AC 等于 AB - BC = 3 - 1 = 2；当点 C 在线段 AB 延长线上时，AC 等于 AB + BC = 3 + 1 = 4。所以 AC 的长度是 2 或者 4。这种方法叫做分类讨论。大家明白了吗？
再看这道例题，已知线段 AB 等于 4，延长 AB 至点 C，使 AC 等于 11，点 d 是 AB 的中点，e 是 AC 的中点，求 DE 的长。如图，因为 AB 等于 4，点 d 是 AB 的中点，所以 ad 等于 2。又因为 AC 等于 11，点 e 为 AC 的中点，所以 AE 等于 5.5。故 DE 等于 AE - ad = 5.5 - 2 = 3.5。同学们也可以思考其他方法来解答。