师：同学你好，下面我们开始上课。这节课我们学习的内容是一次方程组与CT技术。首先，请观看图片。你们认识这台医疗设备吗？它有什么作用呢？这是医院给病人拍片用的CT。大家知道与CT相关的内容有哪些吗？让我们跟随一段视频来了解一下。CT是X射线计算机断层成像的简称。1969年，英国工程师亨斯菲尔德设计出计算机横断面成像装置，神经放射诊断学家安布罗斯将它应用于临床。它显著地改善了X射线检查的分辨能力，其分辨率大大高于一般X光机，能清楚地显示出器官是否有病变，因而被广泛用于医学诊断。
CT的工作程序是这样的：它运用灵敏度极高的仪器对人体进行检查，根据人体不同组织对X射线吸收程度的不同，将检查所获取的数据输入计算机，由计算机对数据进行处理，得到不同组织的吸收值，从而得到人体被检查部位的各断层的图像，进而发现体内任何部位的细小病变。例如，CT在对人的大脑进行检查时，为了显示整个头部的情况，就需要先把它分成多个连续的横断面，即断层，断层厚度一般为1 - 10毫米，再进行扫描以获得各断层图像。
各断层的图像是如何得来的呢？我们在受检体内预成图像的断层表面上，按一定大小，长或宽为1到2毫米，把断层划分为许多很小的部分，它的高就是断层的厚度，这些小块就称为体素。一般用吸收值来表示X射线束穿过一个体素后被吸收的程度，从而得到该断层的图像。要发现受检体内有无病变，就需要把它上面的各体素的吸收值都求出来。
通过这段视频，我们知道了什么是CT，以及CT的工作程序。CT与我们学习的数学知识也有着密切的联系，我们可以通过方程来解决X射线通过断层后体素吸收值的问题。下面我们通过动态图形来说明如何求体素的吸收值。
当X射线穿过体素a和b的时候，X射线首先穿过体素a，X射线会衰减，衰减的量到哪里去了呢？那是因为X射线穿过体素a的时候，被体素a吸收了一部分，射线减弱了。X射线衰减的量就是体素a的吸收值。X射线继续穿过体素b，再次衰减，这次衰减的量就是体素b的吸收值，体素a的吸收值加体素b的吸收值就是体素a、体素b组成的断层的总吸收值。这个数量关系也是接下来建立方程的依据。
研究发现，当体素a的吸收值是0.1，体素b的吸收值是0.3时，由体素a、体素b组成的断层的总吸收值p等于0.1 + 0.3 = 0.4。下面我们用较简单的由三个体素组成的断层为例来进一步说明如何求体素的吸收值。观察图形。由题意可知，当X射线束1穿过体素a和体素b后，总吸收值设为P1，我们可以得到下列数量关系：体素a的吸收值加上体素b的吸收值等于P1。X射线束2穿过体素a和体素c后，总吸收值是P2，于是得到数量关系：体素a的吸收值加上体素c的吸收值等于P2。同理，X射线束3穿过体素b和体素c后，总吸收值是P3，得到数量关系：体素b的吸收值加上体素c的吸收值等于P3。
如果设体素a、b、c吸收值分别为x、y、z，那么这三个数量关系就可以转化为方程：x + y = P1，x + z = P2，y + z = P3，求出x、y、z的值就是体素a、b、c的吸收值。那么如何求出x、y、z的值呢？下面让我们运用这三个关系式来解决具体的问题。
师：一、根据刚才总结的结论，我们可以知道，探测器1的显示值是X射线束1穿过体素a和体素b的总吸收值P1。探测器2的显示值是X射线束2穿过体素a和体素c的总吸收值P2。探测器3的显示值是X射线束3穿过体素b和体素c的总吸收值P3。根据刚才的数量关系，我们可以得到：体素a的吸收值加体素b的吸收值等于P1；体素a的吸收值加上体素c的吸收值等于P2；体素b的吸收值加上体素c的吸收值等于P3。
如果设体素a、b、c吸收值分别为x、y、z，那么这三个关系式可分别转化为方程：x + y = 0.45，x + z = 0.44，y + z = 0.39。用大括号把这三个方程联立在一起就构成了方程组。解出这个方程组的值，即是体素a、b、c的吸收值。请先按下暂停键，你能写出本题的解题步骤吗？下面我们看一下解题步骤。
师：解，设体素a、b、c吸收值分别为x、y、z。根据题意可以得到下列方程组。前面我们学习了解方程组的思想是消元，即把多元方程转化为一元方程来进行求解。首先对方程进行标上序号，这是方程一、方程二、方程三。要想消去未知数x该怎么办呢？在这个方程组中，含有未知数x的方程是方程一和方程二。要想先消去未知数x，我们可以用方程一减去方程二，就可以得到y - z = 0.01。我们把这个方程标为方程四。把方程三与方程四联立在一起，就是二元一次方程组。接下来我们进一步消去未知数z，用方程三加上方程四就可以得到一元一次方程2y = 0.4。进一步解这个方程可以得到y = 0.2。在整个这部分过程中，我们完成了从多元方程到一元方程的转化，下面继续求解其他的未知数。把y = 0.2代入方程一和方程三。代入方程一的时候，我们可以求出x = 0.25，把y = 0.2代入方程三就可以求出z = 0.19。这样我们就求出了方程组的解，是x = 0.25，y = 0.2，z = 0.19。