师：同学们好，今天这节课，我们共同学习初中数学沪科版七年级上册第三章第五节“三元一次方程组及其解法”。首先，请同学们回顾两个问题。第一，什么是三元一次方程组？通过上节课学习，我们知道，含有三个未知数，且每个方程中未知数的最高次数都是 1，同时共有三个方程，这样的方程组就是三元一次方程组。第二，如何解三元一次方程组呢？我们是把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程来求解。在此过程中，主要运用代入或加减消元的方法实现这种转化。同学们，列方程或方程组解决实际问题，在我国古代早有记载。今天，我们就来学习《九章算术》中一个有关三元一次方程组的问题。请看例一，我国古代数学专著《九章算术》中有一题：用卖两头牛、5 头羊的钱买 13 头猪，剩钱 1000；用卖 3 头牛、3 头猪的钱买 9 头羊，钱刚好够；用卖 6 头羊、8 头猪的钱买 5 头牛，还差钱 600。求牛、羊、猪每头的价钱各是多少？我们知道，列方程解应用题的通常步骤是审、设、列、解、答。那么本题该如何审题呢？读题后发现题目数字较多，请同学们先画出题目中的数字，思考这些数字具体的含义。知道数字含义后，各量之间的关系还较难理清，我们能否利用之前学过的列表格的方式，来帮助理清各量之间的关系呢？请同学们再次读题并填写下表。
通过再次读题，我们发现本题主要涉及三次交易。第一次交易：卖两头牛、5 头羊可以买 13 头猪，还剩钱 1000；第二次交易：卖 3 头牛、3 头猪可以买 9 头羊；第三次交易：卖 6 头羊、8 头猪买 5 头牛，还差钱 600。通过填写表格，进一步帮助我们理清了各量之间的关系。
接下来，请同学们回答以下三个问题。问题一，题目中共涉及几个已知量和未知量？问题二，它们之间的等量关系有哪些？问题三，请用列方程组的方法解答此题。通过刚才表格的梳理，我们发现题目中涉及的量主要在三次交易中，未知量是牛、羊、猪的价钱。它们之间的等量关系为：第一，2 头牛的价钱 + 5 头羊的价钱 = 13 头猪的价钱 + 1000；第二，3 头牛的价钱 + 3 头猪的价钱 = 9 头羊的价钱；第三，6 头羊的价钱 + 8 头猪的价钱 = 5 头牛的价钱 - 600。
我们知道了各量之间的关系，也找到了三个等量关系。接下来，不妨设牛、羊、猪每头的价钱分别是(x)、(y)、(z)。根据题目中的三次交易及三个等量关系，可得到方程组：
(\begin{cases}2x + 5y = 13z + 1000 \ 3x + 3z = 9y \ 6y + 8z = 5x - 600\end{cases})
方程列出来了，该如何求解呢？请同学们利用上节课的知识求解。我们先把含有未知数的项移到等号左边，常数项留在等号右边，这样做是为了让相同位置的顺序保持一致，便于观察各系数之间的关系。原方程组整理后为：
(\begin{cases}2x + 5y - 13z = 1000 \ 3x - 9y + 3z = 0 \ -5x + 6y + 8z = -600\end{cases})
我们把整理后的方程分别标注为①式、②式和③式。那么首先消去哪一个未知数呢？观察发现，①式中(x)的系数为(2)，②式中(x)系数为(3)，③式中(x)的系数为(-5)。所以，老师将①式、②式、③式相加消去(x)，从而得到(2y - 2z = 400)，我们把此式标注为④式。
通过刚才观察，①式中(x)系数为(2)，②式中(x)系数为(3)。那么，我们将①式乘以(3)减去②式乘以(2)，便可以得到(34y - 45z = 3000)，把此式标注为⑤式。观察④式和⑤式，发现它们的系数都可进一步化简。也就是说，④式可利用等式基本性质，两边同时除以(2)；⑤式两边同时除以(3)。这样④式和⑤式联立化简后可得：
(\begin{cases}y - z = 200 \ 11y - 15z = 1000\end{cases})
这样便得到一个关于(y)和(z)的二元一次方程组，我们可以利用之前解二元一次方程组的方法求出(y)和(z)的值，然后将(y)和(z)的值代入②式，便可以求出(x)的值。想一想，老师为什么把它代入到②式呢？对，代入②式相对来说系数较为简单，比较容易求出(x)的值。这样我们便可以解得(x = 1200)，(y = 500)，(z = 300)。
规范答题，还要写出答案，答案为：牛、羊、猪每头的价钱分别是(1200)、(500)、(300)。通过本例学习，我们发现当题目中涉及的量较多时，不妨先标出题目中的数字，找出数字的含义，还可以进一步利用之前学过的表格，帮助我们理清各量之间的关系。接下来，我们用此方法看例二。
幼儿营养标准要求每个幼儿每天所需营养量应包含(35)单位的铁、(70)单位的钙和(35)单位的维生素。现有营养师按此标准给幼儿园小朋友配餐，其中包含(A)、(B)、(C)三种食物。下表给出每份(50)克食物(A)、(B)、(C)分别所含铁、钙和维生素的单位。从表中可知，食物(A)中所含铁为(5)个单位，钙为(20)个单位，维生素为(5)个单位；食物(B)中所含铁为(5)个单位，钙为(10)个单位，维生素为(15)个单位；食物(C)中所含铁、钙、维生素分别为(10)个单位、(10)个单位和(5)个单位。
接下来看本题要解决的问题。第一，如果设食谱中(A)、(B)、(C)三种食物各为(x)、(y)、(z)份，请列出方程组，使(A)、(B)、(C)三种食物中所含营养量刚好满足婴儿营养标准要求。第二，解该三元一次方程组，求出满足要求的(A)、(B)、(C)的份数。读完题目发现，本题除文字信息较多外，还有表格，增加了审题难度。接下来老师提三个问题，帮助我们理清各量关系，找到等量关系。问题一，题目中共涉及几个量？问题二，它们之间的等量关系有哪些？问题三，请同学们阅读教材中例三题后的第一、第二内容，尝试列出方程组。本题主要信息集中在表格中，已知食物(A)、(B)、(C)中所含铁、钙和维生素的量。我们不妨利用问题一中设食物(A)、(B)、(C)份数分别为(x)、(y)、(z)，来表示出食物(A)、(B)、(C)中的铁、钙和维生素的含量。请同学们按下暂停键，把食物(A)、(B)、(C)中铁、钙和维生素的含量，用含有(x)、(y)、(z)的式子表示出来。
同学们填好了吗？当设食物(A)的份数为(x)，食物(B)的份数为(y)，食物(C)的份数为(z)时，(A)、(B)、(C)三种食物中铁的含量分别为(5x)、(5y)、(10z)；钙的含量分别为(20x)、(10y)、(10z)；维生素的含量分别为(5x)、(15y)、(5z)。