师：同学们好，今天我们要讲的内容是沪科版七年级上册第二章整式加减第一课时。我们先来看这样一个问题：在甲、乙两面墙壁上各挖取一个圆形空洞安装窗花，其余部分油漆。请同学们根据图中尺寸算出以下两问。
图示中，甲墙长为(2A)，宽为(b)，圆半径为(r)；乙墙长为(a)，宽为(b)，圆半径也为(r)。两面墙宽相等，圆半径也相等，这两个相等的量对我们解题有没有帮助呢？能否根据这两个等量关系得到不一样的解题思路呢？
先来看第一问：两面墙上油漆面积一共有多大？因为圆形空洞部分不油漆，所以油漆面积等于长方形面积减去圆的面积。我们可以先分别求出甲、乙两面墙的油漆面积，即(2AB - \pi r^{2})与(AB - \pi r^{2})，再把它们相加，就得到两面墙油漆面积之和。大家还有没有其他方法？
我们再来分析题目，题目要求的是两面墙油漆面积之和，而油漆面积等于墙的面积减去圆的面积，所以也可以用墙的总面积减去圆形的总面积，即((2AB + AB) - (\pi r^{2} + \pi r^{2}))，得到两面墙的油漆面积之和。还有没有其他方法呢？刚才讲过两面墙宽相等，如果把这两面墙拼接到一起，刚好可组成一个大长方形，那么油漆面积之和就等于这个大长方形面积减去两个圆的面积，即(3ab - 2\pi r^{2})。
第二小问：较大一面墙比较小一面墙的油漆面积大多少？根据图示，甲墙面积大于乙墙，所以用甲的油漆面积减去乙的油漆面积，即((2ab - \pi r^{2}) - (ab - \pi r^{2}))。大家有没有想到其他解题方法呢？
再来分析题目第二问，要求的是油漆面积之差，且两面墙宽相等，圆半径相等，意味着两个圆能完全重合，油漆面积就是图中蓝色部分。现在把两个图形叠到一起，让两个圆完全重合，那么甲乙两面墙的油漆面积之差，就是甲墙的面积减去乙墙的面积，即(2AB - AB)。
一二两问都有多种解法，这些解法之间是否存在某些关系呢？我们先来看第一小问的多项式，观察下列多项式，大家有什么发现？观察的时候，请同学们认真思考，从方法2到方法3发生了什么变化。
通过观察方法一、方法二、方法三，求的都是两面墙的油漆面积之和，所以它们之间存在共同的式子，比如(AB)、(\pi r^{2})。从方法2到方法3，方法2中(2AB + AB)表示两面墙面积之和，到方法3变成了(3ab)；(\pi r^{2} + \pi r^{2})变成了(2\pi r^{2})，代数式变得简单了。那么方法三是否是方法二化简之后的结果呢？如果是，它是如何化简的呢？本节课我们就一起来探究一下这个问题。
在探究之前，请同学们先观察这一列单项式，把认为相同类型的式子归为一类。
我们一起来看第一个单项式(8X^{2}Y)，系数为(8)，包含字母(x)、(y)，且(x)指数为(2)，(y)指数为(1)。在后面几个单项式中没有系数为(8)的，我们来看字母，有包含字母(x)、(y)的，比如(- x^{2}Y)、(4Y^{2}X)与(2X Y^{2})。但是在这三个单项式里，只有(- x^{2}Y)，(x)指数为(2)，(y)指数为(1)与(8X^{2}Y)一样，所以把它俩归为一类，因为它们都包含字母(x)、(y)，且(x)指数为(2)，(y)指数为(1)。
下面(5A)与(9A)归为一类，因为它们都包含字母(A)；(2AB)与(AB)归为一类，因为它们都包含(AB)。那(4Y^{2}X)与谁归为一类呢？观察发现(x)指数为(1)，(y)指数为(2)的只有(2X Y^{2})，所以把它俩归为一类，因为它们都包含字母(x)、(y)，且(x)指数都为(1)，(y)指数都为(2)，虽然(Y^{2}X)书写顺序不一样，但我们以前讲过乘法交换律，所以书写顺序对单项式并没有影响。最后(1)与(0)归为一类，因为它们都是常数。
下面请同学们想一想，上述归为一类的单项式，它们都有什么共同特征？
我们一起来看，上述单项式是按照是否包含相同字母，相同字母指数是否相同来归类的。因此，像这样所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项。注意，常数项与常数项也是同类项。在判断同类项的时候一定要注意，首先字母要相同，这是第一个相同；其次相同字母的指数也要相同，同时满足这两个条件才是同类项。
下面请同学们来做一做这两个练习。
师：好，我们一起来看一下第一题。判断下列各题中的两项是不是同类项，并说明理由，若不是，请为前者配一个。第一小问，(3X^{2}Y)与(-3Y X^{2})，根据同类项的概念，首先看有没有相同字母，都包含(x)、(y)，满足第一个相同。其次看相同字母的指数是否相同，前面一项(x)指数为(2)，这里(x)指数也为(2)，(Y)指数为(1)，这里(y)指数也为(1)，相同字母指数相同，所以它满足同类项的概念，正确。
生：第二个，(2abc)与(2ab)。前面一项包含字母(c)，而后面一项不包含字母(c)，所含字母不相同，所以它们不是同类项。如果要为前者配一个的话，只需要让它包含(abc)就可以了，至于前面的系数，只要不为(0)都可以，比如说(abc)、(-\frac{1}{2}abc)都是正确的。
生：第三小问，(m^{2})与(m^{3})。虽然它们都包含字母(m)，但是指数不同，相同字母指数不相同，不是同类项。如果要为前者配一个的话，所配的同类项一定要包含(m^{2})，前面的系数也要注意不能为(0)。
生：第四小问，(-4X^{2}Y)与(5XY^{2})，它们都包含字母(x)、(y)，但是前面一项(x)指数为(2)，而这里(x)指数为(1)，相同字母指数不相同，所以不是同类项。如果要为前者配一个的话，可以直接把(5XY^{2})改为(5X^{2}Y)。
生：最后一个，(2^{3})与(3^{2})，它们都是常数项，常数项与常数项互为同类项，所以满足同类项的概念。
师：第2小题，若(2X^{3}Y^{n})与(-X^{m - 1}Y^{2})是同类项，问(m)等于几？(n)等于几？因为这两项互为同类项，所以所含字母要相同，字母的指数也要相同。前面一项(x)指数为(3)，所以后面一项(x)指数也为(3)，即(m - 1 = 3)，算得(m = 4)。而这里前面一项(y)指数为(n)，后面一项(y)指数为(2)，所以(n = 2)，我们就求得(m = 4)，(n = 2)。
师：好，学习完同类项的概念，我们再回过头来看一看问题一中的多项式，能找到下列多项式中的同类项吗？我们来看方法二中，前面一个括号里(2AB)与(AB)互为同类项，后面一个括号(\pi r^{2})与(\pi r^{2})也互为同类项。方法三中没有同类项，那么方法二到方法三经历了怎样的变化呢？