师：大家好，非常高兴能和大家一起学习。今天我们要研究一个很有趣的数学问题——一笔画与七桥问题。大家听说过七桥问题吗？下面先听老师给大家介绍。18世纪东普鲁士有个风景秀丽的小城叫哥尼斯堡，有一条河从城中穿过，河上有两个小岛。其中一个岛与河的左岸、右岸各有两座桥相连接；另一个岛与河的左岸、右岸各有一座桥相连接，两个岛之间也有一座桥相连接，总共有7座桥。不知从何时起，一个有趣的问题在人们间传开：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完这7座桥呢？这就是数学史上著名的哥尼斯堡七桥问题。这个问题看似简单，却困扰当地居民很久。人们纷纷到小岛上尝试，却总是无功而返。后来，瑞士数学家欧拉用一个简单的数学知识解决了这个困扰大家多年的问题。那欧拉是怎样解决七桥问题的呢？今天我们就循着欧拉的足迹一起来研究。课前同学们都学习了微课，大家还记得什么是一笔画吗？
生：一笔画就是指从图上的某一点出发，笔不离开纸，一次将这幅图画完，而且每条线都只画一次，不可重复。
师：对，看这三幅图就都是一笔画成的。还记得图形能否一笔画跟图中的什么有关？
生：跟图形中的连接点有关。
师：在一笔画问题中，图形中的连接点一般分两类。像这样连接一条、3条、5条等奇数条线的点叫做奇点。而连接两条、4条、6条等偶数条线的点就叫做偶点。回到刚刚一笔画成的这三幅图，图中有很多点，我们一起来判断它们都各是什么点。第一幅图五角星中有的点连接两条线，有的点连接四条线，所有的连接点都是偶点。图二四个顶点都各连接两条线，是偶点，剩余两个点各连接三条线，是奇点。最后一幅图中四个点都各连接4条线，全是偶点。那图中的奇点与偶点跟图形能否一笔画到底有着怎样的联系呢？结合课前微课所学，你能将下面这些图例按能否一笔画成来分一分类吗？按下暂停键试一试。都完成了吗？我们来听听这一小组的同学是怎么分、怎么想的。
生：我们小组通过研究之后是这样分的，首先把这两个图形分成一类，因为它们各部分之间不连通，不能一笔画。再看这两个图形，图中所有的连接点都是偶点，都能一笔画。而且我们试过了，不管从哪个点出发，一笔画完都会回到这个点。这三个图形都只有两个奇点，也能一笔画成。但是要注意，一笔画的时候必须从其中一个奇点出发，一笔画到另一个奇点结束。如果从偶点出发是无法一笔画成的。最后看剩下这两个，连通图奇点个数都超过了两个，都不能一笔画。所以我们组将这些图形分成了三类，不连通的分为一类，能一笔画出的分为一类，连通但不能一笔画的分为一类。
师：有了课前微课的学习及刚才的研究，我们能初步得出这样几个结论：凡是只有偶点的连通图，一定可以一笔画成，画时以任意偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。凡是只有两个奇点的连通图，一定也可以一笔画成，画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。比如这幅图就只有两个奇点，如果我们从偶点出发，是无法一笔画成的，必须从其中一个奇点出发，一笔画到另一个奇点结束。除了以上两种情况，其他情况的图就都不能一笔画出。下面我们就再借助几幅图来验证这个结论，请判断下面这些图形能否一笔画，为什么？大家一起来试试看。
生：图一中只有两个奇点，可以一笔画成。图2，全是偶点，也可以一笔画成。图3，有4个奇点，不能一笔画成。图4有没有难住大家呢？其实这幅图也只有两个奇点，也是可以一笔画成的。