师：同学们好，欢迎来到数学课堂。今天我们要回顾和整理北京师范大学出版社六年级下册总复习中的“计算与应用”。说到计算，大家是不是觉得很简单呢？真的如此吗？来看这道计算题：15×13。老师相信大家用竖式计算能得出结果195，可你们知道竖式计算背后的道理吗？能不能在点子图上圈一圈来说明呢？动手试试吧。选好了吗？我们一起来看看这位同学的圈法。
生：在点子图上先圈出3个15，对应竖式中的3×15 = 45；再圈出10个15，对应竖式中的10×15 = 150 。最后把45和150相加，得到195。
师：这位同学做出了正确的示范和说明，我们借助点子图明白了乘法计算的道理。那么在小学阶段，我们还借助了哪些数学模型理解运算的道理呢？大家看下面这四道算式，它们涵盖了加、减、乘、除，还有整数、小数、分数三种数的形式。你们会用哪些方法来说明它们的算理呢？尝试一下。完成了吗？我们来看看这几位同学的方法。
生：我通过拨计数器的方法说明324 + 84的算理。先在计数器上拨出第一个加数324，即3个百、2个十和4个一。然后在个位拨上4颗珠子表示84中的4，十位拨上8颗珠子表示84中的80。这时十位满十，要向百位进一，最后得到408，说明324 + 84 = 408，结果正确。
师：那第二位同学会怎么说明13.5 - 4.8的算理呢？
生：算式13.5 - 4.8可以这样理解，我带了13元5角钱，花去4元8角，还剩多少钱？5角减8角不够减，就用1元换10角，现在有15角减去8角，还剩7角；13元去掉1元剩12元，12元减4元剩下8元，所以最后的得数是8元7角，即8.7。我结合生活中的购物问题进行说明，结果正确。
师：这位同学把握住了小数减法计算的要点。咱们再来看下一位同学对小数除法的说明。
生：比如计算1.6÷0.1，我把它转化为16÷1，因为除数和被除数同时扩大10倍，商不变，这样就把小数除法转化为整数除法，结果等于16，是正确的。
师：再来看最后一位同学，是如何用折纸的方法说明分数乘法算理的。
生：把一张长方形纸片竖着对折表示出(\frac{2}{3})，再横着对折表示出(\frac{4}{5})，这样交叉后就把长方形平均分成了15份，其中重叠部分占8份，所以(\frac{2}{3}×\frac{4}{5}=\frac{8}{15}) ，说明了分数乘法的算理，得到正确结果。
师：加减乘除的计算方法背后都有一定道理，明白了道理后，大家能正确计算吗？来做几道题目，计算过程中想一想整数、小数和分数加减法的计算方法有什么特点。算完了吗？下面我们以这几道题为例，梳理一下整数、小数和分数加减法的计算方法。38 + 245 = ？ 283 - 78 = ？这两道整数加减法算对了吗？整数加减法计算时要末位对齐，从个位算起。下面两道小数加减法：13.8 + 5.7 = ？ 30.5 - 5.8 = ？得数分别是19.5、24.7，和答案一致吗？小数加减法要求小数点对齐。不管是整数加减法的末尾对齐，还是小数加减法的小数点对齐，目的都是确保相同数位对齐。因为只有相同数位对齐了，才能保证相同计数单位的个数相加减，这是运算法则背后的道理。除此之外，整数加法和小数加法计算中，都是满十进一，减法中都是退一当十，这一点是相通的。接下来看分数加减法，(\frac{4}{7}+\frac{2}{7}=\frac{6}{7})，(\frac{4}{5}-\frac{2}{5}=\frac{2}{5}) 。同分母分数加减法，分母不变，分子相加减，因为它们的分数单位相同。异分母分数加减法要先通分化为同分母分数再计算，这里运用了转化的方法，目的是让它们具有相同的计数单位。在刚才的梳理中，整数加减法强调相同数位对齐，小数加减法要求小数点对齐，分数加减法要求具有相同的分数单位，其实它们都是相同计数单位的数相加减，这就是它们的共同点。我们已经梳理了整数、小数和分数加减法的计算方法，并找到了共同点。那么整数和小数乘除法的计算方法是什么？它们之间又有什么联系呢？接下来继续通过题目梳理，请先算一算这几个题目。我们具体看这两道乘法算式，算对了吗？得数分别是1620和16.2 。在整数乘法中，计算方法是先用一个乘数个位上的数去乘另一个乘数，得数的末位与乘数的个位对齐，比如5×36 = 180 ，180的末位要与个位对齐；再用一个乘数十位上的数去乘另一个乘数，得数的末位与乘数的十位对齐，因为这一次算的是40×36 。那小数乘法呢，先按照整数乘法算出积，再看两个乘数一共有几位小数，从积的末尾起数出几位，点上小数点。计算小数乘法时，先将它转化为整数乘法，最后根据乘数小数位数确定积的小数位数，这其实就是在确定小数的计数单位。不同的计算方法背后都藏着对计数单位的确定，这提醒我们学习过程中要善于透过现象看本质。接下来看除法的计算方法，这两道除法题得数都是23 ，计算方法之间有什么联系呢？又该如何整理它们的计算方法呢？我们来看这两位同学的整理。