师：同学们大家好，今天我们数学课的内容是课本第69页圆的面积例3。请大家在上课前准备好课本、练习本和笔，准备好了吗？在前面的学习中，我们知道圆的周长公式是(C = 2\pi r)或(C = \pi d)，圆的面积公式是(S = \pi r^{2})。运用这些公式，下面两道练习你会做吗？请大家独立完成。一个圆的直径是4厘米，它的周长是多少厘米呢？已知圆的直径求周长，根据圆的周长公式(C = \pi d)，(\pi)我们通常取近似值3.14来计算，(3.14×4 = 12.56)厘米。练习二，一个圆形茶几面的半径是3分米，它的面积是多少平方分米？已知圆的半径求面积，根据圆的面积公式(S = \pi r^{2})，(3.14×3^{2} = 28.26)平方分米。你们都做对了吗？同学们对已学的知识掌握得真不错。今天这节课我们将要继续学习圆的面积在生活中的应用。新课开始之前，老师想给大家科普一个小知识，你们知道我国古代的天圆地方思想吗？由于古人们没有发达的科学技术和先进的科学理念，他们对宇宙天地会产生“天圆如张盖，地方如棋局”的错觉，意思是天是圆形的，像一把张开的大伞覆盖在地上；地是方形的，像一个棋盘，日月星辰则像爬虫一样过往天空。而中国人对圆和方的喜爱远远不止这些，这种思想还在各种建筑、货币等方面均有表现，例如我们熟悉的鸟巢、水立方，还有这种特殊形状的精美雕窗、铜钱等等。
现在请同学们仔细观察上面这两幅图中的图形，有什么相同的地方和不同的地方吗？
生：相同的地方是都有圆形和正方形，不同的地方是左图外面是正方形，里面是圆形。像这样的组合图形，我们称它为外方内圆；而右图外面是圆形，里面是正方形，像这样的组合图形，我们称它为外圆内方。
师：中国建筑中经常能看到外方内圆和外圆内方的设计。如果我们将这样的组合图形画下来，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？再想一想，它们之间的面积会和谁有关系呢？
生1：我认为会和正方形的边长有关系。
生2：我猜会和圆的面积有关系。
师：具体说说到底如何求它们之间的面积呢？
生3：左图求的是正方形比圆多的面积，所以用正方形的面积减圆的面积。右图求的是圆比正方形多的面积，所以用圆的面积减正方形的面积。
师：你们也是这样想的吗？现在我们将左图内部的圆不断扩大，直到变成正方形内最大的圆，再将右图内部的正方形不断扩大，直到变成圆内最大的正方形。接着给出，上图中两个圆的半径都是1米，你能求出正方形和圆之间部分的面积是多少平方米吗？首先我们一起来探索外方内圆图形的面积，仔细观察，你能发现正方形与圆之间的关系吗？
生4：正方形的边长就是圆的直径，为2米。
师：是的，我们很容易能看出圆的直径和正方形的边长是相等的。知道了正方形的边长和圆的半径，它们的面积你会求吗？
生5：正方形的面积可以用边长乘边长求得，算式为(2×2 = 4)平方米，圆的面积是(\pi r^{2})，算式为(3.14×1^{2} = 3.14)平方米。最后用正方形的面积减圆的面积(4 - 3.14)，算出正方形和圆之间部分的面积为(0.86)平方米。
师：接下来外圆内方图形的面积先试试独立解决吧。诶，在解决的过程中你遇到什么困难了吗？
生6：图中正方形的边长是多少呢？不知道边长怎么求正方形的面积呢？
师：你们也被这个问题困扰住了吗？不着急，先仔细观察，看看正方形与圆之间有什么样的关系呢。添上这样一条辅助线，你们能看出来了吗？
生7：我发现了圆的直径恰好是正方形的对角线。
师：说得真不错，通过增添这样一条辅助线，我们就可以把这个正方形分成两个一样的三角形，这样就算不知道正方形的边长，我们依然可以通过求这两个三角形的面积来求正方形的面积了。继续观察，这两个三角形的底和高分别是多少，你知道吗？
生8：我发现了三角形的底是圆的直径，高是圆的半径。
师：没错，你们也发现了吗？接下来请同学们独立完成，完成了吗？说说看你是怎么做的？
生9：其中一个三角形的面积是(\frac{1}{2})底乘高，因为是两个三角形，所以再乘2，列式为(\frac{1}{2}×2×1×2)，得到正方形的面积为2平方米，而圆的面积依然为3.14平方米。最后用圆的面积减正方形的面积(3.14 - 2)，算出圆和正方形之间部分的面积为(1.14)平方米。
师：受到这种方法的启发，你们还能想到其他的方法吗？
生10：我想到了，还可以把正方形看成四个相等的等腰直角三角形，它的底和高都是圆的半径1米。
师：诶，这个方法你们想到了吗？其中一个三角形的面积可以用(\frac{1}{2}×1×1)得到，因为是四个三角形，所以再乘4得到正方形的面积为2平方米。之后用同样的办法算出圆和正方形之间部分的面积为(1.14)平方米。在求外圆内方图形的面积时，我们无法直接通过正方形的边长求它的面积，这时我们就可以换一种思路，通过增添一些辅助线的方法，将正方形的面积转化为两个或四个相等的三角形面积之和，这种方法你们学会了吗？刚才我们一起通过计算得到了圆的半径为1米时，外方内圆和外圆内方图形之间的面积。那它们之间的面积到底和谁有关呢？没错，和圆的半径有关。如果圆的半径为(r)，你还能分别求出外方内圆和外圆内方图形之间的面积吗？首先，在外方内圆中，正方形的面积该如何表示呢？