师：同学你好，关于分数你都有哪些了解？今天我们就利用所学的分数知识来解决问题。大家都知道牛奶营养丰富，“每天一斤奶，强壮中国人”，很多人都喜欢喝牛奶。这不，有个同学喝牛奶时遇到了一个数学问题，咱们一起来帮帮他。一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后觉得有些凉，就兑满了热水，接着他又喝了半杯就出去玩了。那么，乐乐一共喝了多少杯纯牛奶？又喝了多少杯水呢？从题中你知道了哪些数学信息？
生：我知道乐乐喝了两次，第一次一杯纯牛奶，他喝了半杯，也就是喝了$\frac{1}{2}$杯。觉得凉，兑满热水后他又喝了半杯，第二次也喝了$\frac{1}{2}$杯。题目中提了两个问题，乐乐一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
师：小红从题中知道了这么多数学信息。下面我们在脑海里把乐乐喝牛奶的过程演示一遍，大家可以配上动作。一杯纯牛奶，喝了$\frac{1}{2}$杯，觉得凉，兑满热水，又喝了$\frac{1}{2}$杯。乐乐喝了两次，每次都喝$\frac{1}{2}$杯，这两次喝的纯牛奶一样多吗？
生1：两次都喝了$\frac{1}{2}$杯，$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，两次喝的纯牛奶是一样多的。
生2：我觉得这两次喝的纯牛奶不一样多。第一次喝了$\frac{1}{2}$杯，全部是纯牛奶；第二次喝的$\frac{1}{2}$杯，不光有纯牛奶，还有水。要是像你说的那样，两次都喝了$\frac{1}{2}$杯纯牛奶，$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$杯，那这杯纯牛奶应该被喝光了，可是现在杯子里还有牛奶呢。
师：你认为这两位同学谁说的对？你又是怎样想的呢？是啊，虽然两次都喝了$\frac{1}{2}$杯，但第一次喝的是纯牛奶，第二次喝的是兑了水的牛奶，有纯牛奶也有水，所以生2说的是对的。那么第二次喝了多少杯纯牛奶？多少杯水呢？下面我们一起来画图分析，为了大家能看得更清楚，纯牛奶用绿色表示。
一杯纯牛奶，第一次喝了$\frac{1}{2}$杯，还剩下$\frac{1}{2}$杯。现在要加满热水，要加多少热水才能加满呢？喝掉$\frac{1}{2}$杯，当然要加$\frac{1}{2}$杯才能加满。现在杯子里一半是水，一半是纯牛奶，老师把它摇匀。如果乐乐喝一小口，这一小口里有多少纯牛奶？多少水？
生：一半是纯牛奶，一半是水。
师：如果他喝一大口，这一大口里又有多少纯牛奶？多少水呢？
生：还是一半纯牛奶一半水。
师：还记得乐乐第二次到底喝了多少吗？他喝了$\frac{1}{2}$杯，这$\frac{1}{2}$杯里也一半是纯牛奶，一半是水。这$\frac{1}{2}$杯的一半是纯牛奶，这里$\frac{1}{2}$杯的一半是水，那$\frac{1}{2}$杯的一半到底是多少杯呢？
生：把$\frac{1}{2}$平均分成两份。
师：$\frac{1}{2}$杯的一半是$\frac{1}{3}$杯吗？显然不是，每一份不一样多，还要把下面的$\frac{1}{2}$杯也平均分成两份，一杯平均分成两份，相当于把一杯平均分成了4份。从图中可以看出，$\frac{1}{2}$杯的一半是$\frac{1}{4}$杯。现在我们终于知道，第二次喝掉的纯牛奶是$\frac{1}{4}$杯，水也是$\frac{1}{4}$杯。也有的同学觉得牛奶和水混合在一起，去想第二次喝了多少杯纯牛奶、多少杯水不太容易，该怎么想呢？有同学想把牛奶和水分离开来，你们觉得这样行不行呢？一起来看，老师用“一双魔术手”让牛奶与水分离。瞧，水到了上面，纯牛奶到了下面。如果喝掉$\frac{1}{2}$杯，会全部喝的是水吗？
生：不是。
师：会全部喝的是纯牛奶吗？
生：也不是。
师：他喝掉的这$\frac{1}{2}$杯里是怎样的呢？
生：一半是纯牛奶，一半是水。
师：从图中你能直接看出这$\frac{1}{2}$杯里纯牛奶有$\frac{1}{4}$杯，水也有$\frac{1}{4}$杯。这种是横着喝的。大胆猜想一下，还可以怎么喝？
生：还可以竖着喝。
师：仍然上面一半是水，下面一半是纯牛奶，竖着平均分成两份。你打算喝左边的这$\frac{1}{2}$杯还是右边的这$\frac{1}{2}$杯？
生：不管喝左边的还是右边的都一样。
师：那我来喝左边的。从图中可以看出，喝纯牛奶的一半，喝了水的一半，喝的纯牛奶和水都是$\frac{1}{4}$杯，剩下的纯牛奶和水也都是$\frac{1}{4}$杯。我们通过把牛奶和水分离，不管是横着喝$\frac{1}{2}$杯还是竖着喝$\frac{1}{2}$杯，都得到第二次喝了$\frac{1}{4}$杯的纯牛奶和$\frac{1}{4}$杯的水。有的同学在研究这个问题时画的是线段图，老师也画了一个，一起来看。
用这条线段表示一杯纯牛奶，喝了$\frac{1}{2}$杯，剩下$\frac{1}{2}$杯。兑了$\frac{1}{2}$杯的水，第二次又喝了$\frac{1}{2}$杯，喝纯牛奶的一半和水的一半。这$\frac{1}{2}$杯里一半是纯牛奶，一半是水。从图中可以看出，第二次喝掉的纯牛奶和水都是$\frac{1}{4}$杯。我们借助画图示、画线段图都得到第二次喝了$\frac{1}{4}$杯的纯牛奶，喝了$\frac{1}{4}$杯的水。现在就能解决一共喝了多少杯纯牛奶，多少杯水了。把两次喝的纯牛奶加起来，$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$，算出一共喝了$\frac{3}{4}$杯的纯牛奶。第一次没有喝水，第二次喝了多少水，就是一共喝了多少水，一共喝了$\frac{1}{4}$杯的水。共喝了$\frac{3}{4}$杯纯牛奶，$\frac{1}{4}$杯水，这个结果到底对不对呢？怎样检验？可以从剩下的考虑。剩下$\frac{1}{4}$杯纯牛奶和$\frac{1}{4}$杯的水。原来有一杯纯牛奶，剩下$\frac{1}{4}$杯，说明被喝掉了$\frac{3}{4}$杯。倒入了$\frac{1}{2}$杯的水，还剩$\frac{1}{4}$杯，$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$杯，说明喝了$\frac{1}{4}$杯的水，这与我们研究得到的乐乐一共喝了$\frac{3}{4}$杯纯牛奶，$\frac{1}{4}$杯水是一致的。我们的研究结果正确。回顾解决这道题的过程，你觉得我们顺利解决问题的关键是什么？