师：同学们好，首先请跟老师一起来欣赏一幅美丽的图片。图片中的这座大桥叫鹦鹉洲长江大桥，它是世界上同类桥梁中跨度最大的三塔四跨悬索桥。因其修长的身形、简洁的设计和绚丽夺目的橘色，被称为长江上最美的大桥。它的结构由桥塔、悬索以及桥面组成。那么，能不能求出由悬索、桥面以及桥塔围成的图形的面积呢？这就是本节课要学习的内容。
我们先将形如由 x 轴、直线 x = a、x = b 以及一条曲线围成的封闭图形，称为曲边梯形。本节课我们要研究的就是如何求曲边梯形的面积。接下来看北师大版选修 2 - 2 第四章定积分 1.1 定积分的背景——面积和路程问题。
在小学和初中阶段，我们已经学习了由线段组成的三角形、矩形、梯形等多边形的面积公式，还学习了圆这个特殊曲边图形的面积。对于圆面积的研究有很多方法，其中非常经典的是我国魏晋时期数学家刘徽给出的割圆术。下面我们一起来回忆一下，如何用割圆术来研究圆的面积。
我们可以通过圆内接正多边形的面积来估计圆的面积。当 n = 3 时，圆内接正三角形的面积与圆的面积误差较大。刘徽计算了 n = 6 以及 n = 12 的情形。大家想一想，用 n = 3、n = 6、n = 12 哪一个正多边形的面积估计圆的面积更好呢？我想大部分同学都能看出来，当 n = 12 时，正多边形的面积更接近于圆的面积。那么如何让误差变得更小呢？我们可以增加分割的数量，分割越多，正多边形的面积就越接近圆的面积。刘徽曾说过：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”也就是说，当分割越来越细时，我们就几乎可以用正多边形的面积来估计圆的面积了。
那么割圆术带给我们什么启示呢？我们可以用最接近圆的正多边形替代圆，即以直代曲，再通过无限逼近的思想研究圆的面积。通过上面的探讨，请思考怎样求由抛物线 y = x2与 x 轴、直线 x = 1 所围成的曲边梯形的面积 S。
首先，对于这样一个曲边梯形，我们也可以用小矩形的面积来估计它。如果用以 1 为底、以 1 为高的矩形来估计曲边梯形的面积，会发现此时误差较大。如何让误差变得更小呢？我们的第一步是分割。
我们可以将区间[0, 1]等间隔分成 n 个小区间，那么每一个小区间的长度都是$\frac{1}{n}$。第一个小区间是[0, $\frac{1}{n}$]，第二个是[$\frac{1}{n}$, $\frac{2}{n}$]，第 i 个小区间就是[$\frac{i - 1}{n}$, $\frac{i}{n}$]，最后一个小区间为[$\frac{n - 1}{n}$, 1]，其中 i = 1, 2, 3, …, n。然后过各区间端点做 x 轴的垂线，从而得到 n 个小曲边梯形。这样我们就将大曲边梯形的面积转化成了小曲边梯形的面积，这一步用到了化整为零的数学思想。
那么接下来问题变成了，如何去求某一个小曲边梯形的面积呢？这就是我们的第二步，近似代替。
我们可以用矩形的面积近似地估计小曲边梯形的面积。如果我们选择以[$\frac{i - 1}{n}$, $\frac{i}{n}$]这个区间为底，其左端点所对应的函数值为高做一个矩形来估计，那么会发现此时矩形的面积小于曲边梯形的面积。当然，我们也可以以其右端点所对应的函数值为高做一个矩形，此时矩形的面积会大于小曲边梯形的面积。
按照方案一，我们可以得到小矩形的面积等于$(\frac{i - 1}{n})2×\frac{1}{n}$。而方案二中矩形的面积则等于$(\frac{i}{n})2×\frac{1}{n}$。在这一过程中，我们用到了以直代曲的数学思想。按照方案一和方案二，我们要求的曲边梯形的面积就可以转化成左图以及右图两种不同的估计形式。在这里请同学们思考一下，取区间[$\frac{i - 1}{n}$, $\frac{i}{n}$]上的左端点和右端点的函数值来计算小区间上的面积，有何区别呢？
我们会发现区间左端点所对应的函数值实际上是这个区间内函数的最小值，因此方案一是从小于曲边梯形的面积来无限逼近的，我们称这个值为曲边梯形的不足估计值。而方案二则是从大于曲边梯形的面积来无限逼近，我们称这个值为过剩估计值。
那么下面第三步求和。我们就需要按照方案一和方案二分别求出我们要求的曲边梯形面积的不足估计值以及过剩估计值。请同学们动手自己尝试一下，看看能不能求出来呢？
好，一起来看大屏幕。对于 S 的不足估计值以及过剩估计值，我们可以分别将小曲边梯形的面积代入。不足估计值等于$0×\frac{1}{n} + (\frac{1}{n})2×\frac{1}{n} + … + (\frac{n - 1}{n})2×\frac{1}{n}$。过剩估计值则等于$(\frac{1}{n})2×\frac{1}{n} + (\frac{2}{n})2×\frac{1}{n} + … + (\frac{n}{n})2×\frac{1}{n}$。分母都是$n3$，所以我们可以提取$\frac{1}{n3}$，则可以分别得到不足估计值等于$\frac{1}{n3}×(12 + 22 + … + (n - 1)2)$，过剩估计值则需要加到$n2$。
我们如何去求$12 + 22 + … + n2$的值呢？还记得咱们在必修 5 数列学习过程中，$12 + 22 + … + n2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$。
接下来我们就可以将这个公式分别代入化简，则可以得到不足估计值等于$\frac{1}{3}×(1 - \frac{3}{2n} + \frac{1}{2n2})$，过剩估计值则等于$\frac{1}{3}×(1 + \frac{3}{2n} + \frac{1}{2n2})$。
在这一步，我们将小曲边梯形的面积相加，得到了曲边梯形面积 S 的估计值，这一步用到了积零为整的数学思想。那么下面我们一起来看一看，当分割越来越细时，不足估计值与过剩估计值有着怎样的变化。
我们先来看过剩估计值，当 n = 5 时，过剩估计值为 0.44；n = 10 时，过剩估计值为 0.38；n = 20 时，过剩估计值为 0.36；n = 30 时，过剩估计值为 0.35；n = 40 时，过剩估计值为 0.35；n = 50 时，过剩估计值为 0.34；当分割达到 100 次的时候，过剩估计值还是 0.34；200 次时，0.34；300 次时，0.34；400 次时，过剩估计值为 0.33。