师：同学们好，今天我们一起来学习北师大版选修4 - 4第一章第二节2.1极坐标系的概念。首先，来看一个校园平面图，这是某校园的平面示意图。假设某同学在教学楼处，大家思考以下问题：他向东偏北60度方向走120米后到达什么位置？这个位置唯一确定吗？
生：这个位置是图书馆，由于方向确定，走的距离也确定，所以位置是唯一确定的。
师：非常好。第二个问题，如果有人打听体育馆和办公楼的位置，该如何描述呢？
生：体育馆在正东方向60米处，办公楼在西北方向50米处。
师：通过这个例子，大家可以看到，在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离来表示平面上一点位置的思想，就是今天我们要学习的极坐标的基本思想——极坐标系的概念。接下来，我们一起学习极坐标系的建立，请同学们打开课本。首先在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和计算角度的正方向，通常我们选择逆时针方向。这样，我们就建立了一个极坐标系。
建立极坐标系后，我们最终目的是表示一点的位置。下面来看极坐标系中一点的极坐标是如何规定的。在极坐标系的平面上有一个点M，对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示以射线OX为始边，射线OM为终边所成的角。这里的ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角。那么，我们就把这个有序实数对（ρ，θ）叫做M的极坐标，这就是极坐标系中一点极坐标的确定方法。
大家想一想，我们学过的平面直角坐标系和极坐标系有什么异同点？平面直角坐标系的确定有几个要素，坐标原点、x轴、y轴和单位长度。那么极坐标系的确立又有几个要素呢？
生：要有极点、极轴，还要有长度单位，以及计算角度的正方向，也是四个要素。
师：没错，平面内的点的极坐标可以用（ρ，θ）这个有序实数对来表示。对于特殊位置极点的极坐标，该如何表示呢？
生：极点的极径是0，极角θ可以取任意值。
师：很好。学习了极坐标系的建立和点的表示，来看下面这个问题。如图，写出各点的极坐标。在这个极坐标系上呈现了7个点，大家思考一下这些点的坐标该怎么写。
首先看A点，A点在极轴上，因此它的极角我们认为是0。这里圆的半径每次递增一个单位，所以A点的极坐标可以写成（4，0）。同理，B点极角是$\frac{\pi}{4}$，极径是3，B点的坐标是（3，$\frac{\pi}{4}$）；C点极角是$\frac{\pi}{2}$，极径是2，它的坐标是（2，$\frac{\pi}{2}$）；D点（5，$\frac{5\pi}{6}$）；E点（1，$\frac{4\pi}{5}$）；F点（4，$\frac{3\pi}{3}$）；最后一个点，它的坐标是（7，$\frac{5\pi}{3}$）。
通过刚才的分析，大家发现要写一个点的极坐标，首先确定它的极角，在这个极角的终边上再确定极径的长度。这是这个题目，下面我们来看课本后面的练习，请大家打开课本。第一题，在极坐标系中作出下列各点，第一题给了7个点的极坐标，让大家在极坐标系中作出这些点，这个问题大家课下自己画极坐标系，作出这些点即可。下面我们一起来分析第二题。A点（3，$\frac{\pi}{3}$），B点（3，$\frac{\pi}{6}$），C点（3，$\frac{\pi}{2}$），D点（3，$\pi$），E点（3，$\frac{3\pi}{2}$），问这5个点有什么关系？
生：这5个点的极径都是3，极角不同，它们都在以极点为圆心，半径为3的圆上。
师：非常好。再看第三题，A点（ - 2，$\frac{\pi}{6}$），B点（ - 1，$\frac{\pi}{6}$），C点（3，$\frac{\pi}{6}$），D点（4，$\frac{\pi}{6}$），E点（4.5，$\frac{\pi}{6}$），这几个点又有什么关系呢？
生：极径不同，极角相同，它们在极角为$\frac{\pi}{6}$所在的这条直线上。
师：很好。来看第二题，在极坐标系中点（ρ，θ），记作M点（ρ，θ），另一个点是（ - ρ，$\pi$ - θ），记作N点，分析这两个点有什么关系。这里出现了负极径，同学们打开课本，我们一起来学习关于负极径的说明。
为了研究问题方便，有时候极径允许取负值。当ρ < 0时，点（ρ，θ）在哪里呢？它位于极角终边的反向延长线上，并且OM等于|ρ|。通过图形来看，这是θ角，现在ρ是负值，我们把角θ的射线反向延长，找到M点，M点要保证OM的长度等于|ρ|，那么这个点的坐标就是（ρ，θ）。此时这个点所在终边的角度可以看成$\pi$ + θ，那么这个点M又可以怎么写呢？
生：点M的坐标也可以表示为（ - ρ，θ + $\pi$），因为这里 - ρ是正值了。角度有周期，还可以写成（ - ρ，θ + $\pi$ + 2k$\pi$），也就是（ - ρ，θ +（2k + 1）$\pi$）。
师：所以这两个点表示的是同一个点。这是关于负极径的说明。下面再看刚才的题目，M点（ρ，θ）和N点（ - ρ，$\pi$ - θ）的关系。现在把M点在极坐标系中做出来，画一个极坐标系OX，做出点M，M的坐标是（ρ，θ）。现在要找N点的位置，首先找它的极角所在的终边$\pi$ - θ，大致在这个位置，这是$\pi$ - θ。极径是 - ρ，就在它的反向延长线上找到与OM相同的位置，那么这个点N坐标就是（ - ρ，$\pi$ - θ）。因此可以看到M点和N点这两个角都是θ，长度又相等，所以M和N是关于极轴对称的。
有了刚才的分析，继续探究思考平面上一点的极坐标是否唯一，如果不唯一，有多少种表示方法？第二个问题，不同的极坐标是否可以写出统一的表达式？来看极坐标与极坐标中的点的关系。首先看这个极坐标系，OM的长度是4，θ = $\frac{\pi}{4}$，那么M的极坐标可以怎么表示？
生：可以写成（4，$\frac{\pi}{4}$），还可以写成（4，$\frac{9\pi}{4}$），（4，$\frac{\pi}{4}$ + 4$\pi$）、（4，$\frac{\pi}{4}$ + 6$\pi$）都可以。
师：所以点M的极坐标表达式不唯一。这些极坐标之间有何异同呢？
生：极径相同，极角不同，极角之间始边相同，终边也相同，是终边相同的角。
师：那么这个点的坐标就可以写成（4，$\frac{\pi}{4}$ + 2k$\pi$），k ∈ Z。到这里我们思考极坐标中的点与它的极坐标之间的对应情况。第一个问题，极坐标对应的点唯一确定吗？
生：给定（ρ，θ）就可以在极坐标平面内确定唯一的点M。
师：反过来，一个点对应的极坐标是不是唯一的呢？
生：通过刚才分析，给定平面上一点M，却有无数个极坐标与之对应，可以写成（ρ，θ）、（ - ρ，θ + $\pi$）、（ρ，θ + 2k$\pi$）、（ - ρ，θ +（2k + 1）$\pi$）。
师：为了实现点与它的坐标一一对应，大家想一想能不能对角度进行一些条件限制？
生：限定ρ > 0，θ ≥ 0且θ < 2$\pi$，此时除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了。
师：非常好。回到前面的问题，用A、B、C、D、E分别表示教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的位置，建立适当的极坐标系，写出各点的坐标。思考第一个问题，建立适当的坐标系，选择以谁为极点建坐标系？
生：以A点为极点，以AB这个方向为极轴建立极坐标系。
师：请同学们尝试表示这5个点的极坐标。
生：A点是极点，坐标写成（0，0）；B点在极轴上，体育馆的位置可以表示为（60，0）；C点极角是60度，极径是120米，坐标可以写成（120，$\frac{\pi}{3}$）；D点极角是90度，通过直角三角形中的三角函数计算出极径AD是60$\sqrt{3}$，坐标可以写成（60$\sqrt{3}$，$\frac{\pi}{2}$）；E点极角是$\frac{3\pi}{4}$，坐标是（？，$\frac{3\pi}{4}$）。
师：这里E点极径题目没给，课后大家思考怎么求。下面我们看两个题目，第一个呈现一个极坐标系，给你标出了一些特殊的角度，下面给几个点，大家找一找这几个点在极坐标系中对应的位置。看第一个A点（ - 4，0），极角是0，极径是 - 4，在反向延长线上，所以A点的位置在左边 - 4处；B点（3，$\frac{5\pi}{6}$），找到极角$\frac{5\pi}{6}$终边，再找到极径为3的位置，B点位置就找到了；C点极角为$\frac{\pi}{2}$，极径为负值，在它的反向延长线上找两个单位，C点在下边；D点极角是$\frac{5\pi}{4}$，极径是 - 1，因此它的位置在相应位置；E点（ - $\frac{\pi}{6}$），也就是$\frac{11\pi}{6}$的位置，极径是3；最后一个F点极角是 - $\frac{\pi}{3}$，也就是$\frac{5\pi}{3}$的位置，找极径 - 4，在反向延长线找 - 4，找到F点的位置。同学们，学会了吗？
再看下面一个问题，在极坐标系中，第一个问题说明满足条件ρ = 5，θ ∈ R，也就是说极径为5极角任意，这样的点组成的是什么图形？
生：以极点为圆心以5为半径的圆。
师：第二个问题，满足θ = $\frac{\pi}{3}$，ρ ∈ R，也就是说极角确定极径任意，这样的点表示的是什么图形呢？
生：先找到极角$\frac{\pi}{3}$的终边，ρ ∈ R，这个图形指的就是极角$\frac{\pi}{3}$所在终边所在的这条直线。
师：同学们，这就是我们今天所学习的主要内容。下面小结一下，这节课我们学习了：第一，建立一个极坐标系需要哪些要素？需要极点、极轴、长度单位以及计算角度的正方向。第二，极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？有无数种表达式，因为极角有无数个，也可以采用负极径来进行表示。第三，极坐标系内的点与坐标的对应关系。给定（ρ，θ）就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M；给定平面上一点M，却有无数个极坐标与之对应。为了一一对应，我们可以限定ρ > 0，θ ≥ 0且θ < 2$\pi$，这样点和极坐标就可以实现一一对应了。
给大家留一个课后思考题，平面内的点既可以用直角坐标表示，这是我们以前学习的，今天又学习了可以用极坐标表示，那么这两种坐标之间有什么关系呢？请同学们课下思考。下节课我们继续研究。今天的作业：课本18页A组第一题和第二题两个题目。好，同学们，今天这节课就上到这里，再见。