师：同学们好，这节课我们一起来学习北师大版选修4 - 4第一章第二节2.2点的极坐标与直角坐标的互化。首先，我们回顾一下上节课所学内容。上节课我们学的第一个内容是极坐标系的建立，在平面内取一个定点O叫做极点，引一条射线OX叫做极轴，再选定一个长度单位和角的正方向，通常取逆时针方向，这样就建立了一个极坐标系。
上节课我们还学到了极坐标系中一点的极坐标的规定。对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角。有序实数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标。这里要注意两个内容：一般情况下，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数；当M在极点时，它的极坐标是(0,θ)，这里的θ可取任意值。
紧接着我们研究了极坐标系中点与它的极坐标的对应情况。给定(ρ,θ)，就可以在极坐标平面内确定唯一的点M。反之，给定平面上一个点M，却有无数个极坐标与之对应，原因在于极角有无数个，极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ + 2kπ)(k∈Z)表示的是同一个点。为了实现一一对应，我们限定ρ＞0，θ∈[0, 2π)，那么除极点外，平面内的点与极坐标就一一对应了。
既然平面内的点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，且能实现一一对应，那么就有必要研究平面内一个点的极坐标与直角坐标的互化，这就是我们这节课要学习的内容。
下面首先思考第一个问题，互化的前提。两个坐标系之间必须满足什么条件，我们才能进行极坐标与直角坐标的互换呢？大家可以想一想平面直角坐标系和极坐标系的要素，从这几点开始思考：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度。在这个前提下，我们才可以进行点的极坐标与直角坐标的互化。
怎么互化呢？我们先通过两个小题目尝试一下。思考一：平面内一个点的直角坐标是A点(1, 1)，则该点的极坐标是什么？思考二：平面内一个点的极坐标是B点(2, π/2)，则该点的直角坐标是什么？大家先想一想。
我们来看第一个问题，平面内一点A的直角坐标是(1, 1)。画一个直角坐标系，标出A点。若要找A点的极坐标，需找A点的极角和极径。连接OA，O为极点，这个角度很容易看出是π/4。再求OA的长度作为A点的极径，根据勾股定理，OA的长度为√2。所以A点的极坐标可写成(√2, π/4)。
思考二，一个点的极坐标是(2, π/2)，在脑海中想一想，这个点在角π/2的终边长度为2的位置，它的直角坐标不画图也能想出来，应该是(0, 2)。
这是我们进行的尝试，那么直角坐标与极坐标之间互化的规则和原理是什么呢？下面我们细致研究。首先还是要满足互化的前提，再说一遍，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并且在两种坐标系中取相同的单位长度。
大家来看这样一个坐标系，要实现点M的极坐标与直角坐标，也就是(ρ,θ)与(x, y)之间的转化。这四个量之间如何转化呢？大家看这个图形，有没有想到和以前学习的任意角的三角函数知识相关？
角α的终边上有一点P，P点的坐标是(x, y)，它与原点的距离OP = √(x2 + y2)。那么角α的正弦值sinα = y / r，余弦值cosα = x / r，正切值tanα = y / x。
可以发现点的坐标(x, y)与角度之间可以用三角函数的正弦、余弦、正切来联系。把这个知识应用到互化当中。
我们分两次思考，第一次看极坐标到直角坐标的转化。也就是x、y如何用(ρ,θ)来表示？ρ就是OM的长度，x可以写成ρcosθ，y可以写成ρsinθ。这样就得到了x = ρcosθ，y = ρsinθ，实现了极坐标化直角坐标。
再看如何通过直角坐标化极坐标，也就是ρ和θ如何用x、y来表示？ρ相当于三角形的斜边，所以ρ2 = x2 + y2。θ与x、y有什么关系呢？自然想到正切函数tanθ = y / x（x≠0）。这样就找到了直角坐标化极坐标的方法：ρ2 = x2 + y2，tanθ = y / x（x≠0）。
得到极坐标与直角坐标的互化关系式：极坐标化直角坐标，x = ρcosθ，y = ρsinθ；直角坐标化极坐标，ρ2 = x2 + y2，tanθ = y / x（x≠0）。
大家看tanθ = y / x，要找θ角，θ角有无数个，怎么限定呢？回忆前面讲的一一对应的限定条件，通常情况下，将点的直角坐标化极坐标时，取ρ＞0，θ∈[0, 2π)。但tanθ等于一个数字时，在0到2π内也有两个角度对应。所以，在确定θ角时还要注意原来点的象限位置，θ角的值要由该点所在象限来决定。
下面我们看第一个问题，把点的极坐标化为直角坐标。已知点M的极坐标是(5, 2π/3)，要把这个点化成直角坐标，原理是极坐标化直角坐标的关系式。根据ρ = 5，θ = 2π/3求x、y的值。
先求x，x = ρcosθ = 5cos(2π/3)，要熟练掌握特殊角的正弦值、余弦值以及正切值，2π/3的余弦值是 - 1/2，所以x = - 5/2。
再求y值，y = ρsinθ = 5sin(2π/3)，sin(2π/3) = √3 / 2，所以y值是5√3 / 2。那么点M的直角坐标就是( - 5/2, 5√3 / 2)。
大家看这个题的解题过程，就是利用x = ρcosθ，y = ρsinθ来计算的。这是我们讲的一个例题，请同学们拿出草稿纸，用这种方法解决下面这个练习，将点的极坐标化为直角坐标，给了5个点，大家先思考一下。
我们来看第一个点，(4, π/3)，ρ = 4，θ = π/3，x = 4cos(π/3) = 2，y = 4sin(π/3) = 2√3，所以这个点的直角坐标是(2, 2√3)。