师：同学们好，今天我们来学习高中数学，北京师范大学出版社高二年级选修4 - 4第一章第三节柱坐标系和球坐标系。上课前，我们先看学习目标。一是了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点位置的方法；二是掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式；三是感悟数形结合的思想方法，并能根据实际情况选择合适的坐标系。
我们已经学过平面直角坐标系和平面极坐标系，它们是如何建立的呢？观察图像可知，平面极坐标系是由一点引一条射线建立的，我们用有序数对（ρ，θ）来表示平面极坐标；而平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴建立的，我们用有序数对（x，y）来表示平面直角坐标。那么空间直角坐标系又是如何建立的呢？在平面直角坐标系的基础上，通过原点O作一条z轴与xOy平面垂直，这样就建立了空间直角坐标系。
我们看到空间直角坐标系是由三条两两互相垂直的数轴建立的，这里用有序数组（x，y，z）来表示空间直角坐标。在实际生活中，我们常需描述空间中点的位置，比如装修时确定客厅里吊灯的位置，就需要借助空间直角坐标系。来看点P向xOy平面作垂线，向yOz平面作垂线，观察可得P点坐标是（4，5，3），通过这样一个三元有序数组，我们就描述了点的位置。
以空间直角坐标系为基础，我们来研究柱坐标系。如图，在圆形体育场内，如何确定看台上某个座位的位置？假设从东门进入，画个简图。要知道座位M的高度、到体育场中心O的水平距离，以及走过的角度θ。假设垂足用极坐标表示为（r，θ），所以在现实生活中，我们需要一个新坐标系来研究问题，即柱坐标系。那么如何建立柱坐标系呢？在平面极坐标系的基础上，通过极点O增加一条与平面极坐标系所在平面垂直的z轴，这样就建立了柱坐标系。
对于空间中的一点M，其坐标该如何表示呢？假设点M的坐标为（x，y，z），如图，点M在平面xOy上的投影为点P，点P的极坐标为（r，θ）。观察可知，（r，θ，z）构成一个有序数组，我们能否用（r，θ，z）来表示M的坐标呢？这里就用有序数组（r，θ，z）表示M的坐标。同学们要注意，（r，θ，z）是有次序的，同时要注意r、θ和z的几何意义。
若按如图所示建立空间直角坐标系和柱坐标系，那么点M的空间直角坐标（x，y，z）和柱坐标（r，θ，z）之间的互化公式是什么样的？看图像，点M在平面XOY上的投影为点P，P点的空间直角坐标为（x，y，0），极坐标是（r，θ）。可以看到，x = r×cosθ，y = r×sinθ，z不变。这样我们就用柱坐标表示了空间直角坐标。
反之，如何用空间直角坐标表示柱坐标呢？这里有两种方法。首先是代数法，对x = r×cosθ和y = r×sinθ两式同时两边平方，得到x2 = r2×cos2θ，y2 = r2×sin2θ。两项相加，因为sin2θ + cos2θ = 1，所以x2 + y2 = r2。从几何观点看，在图像上由勾股定理也能得到x2 + y2 = r2，因此可得r = √(x2 + y2)。研究角通常用正切值，这里研究tanθ = y / x（x≠0），当x = 0时，M点在平面yOz上不变。这样我们就得到了空间直角坐标与柱坐标之间的互化公式，同学们要掌握并记忆这两个公式。
现在给定一个底面半径为r，高为h的圆柱，如何利用柱坐标来描述圆柱的侧面？首先建立一个柱坐标系，在侧面上任取一点M，过M向XOY平面作垂线，垂足为P，连接OP。此时r = OP为定值，随着角度θ和z的变化，M的轨迹就是这个圆柱的侧面。可知θ的范围是大于等于0，小于2π，z的范围是大于等于0，小于等于h。为方便研究，书本规定了r、θ和z的变化范围，其中r≥0，θ∈[0, 2π)，z∈R。
如果给定点M的柱坐标为（r，θ，z），当r、θ、z分别为定值时，点M的轨迹是什么呢？当r为定值时，它表示以z轴为轴的圆柱面；当θ为定值时，因为∠xOP是定值，OP和PM在变化，此时M的轨迹是过z轴的半平面；当z为定值时，随着r和θ的变化，轨迹是与XOY平面平行的平面。比如z = h时，就是这个圆柱的上底面所在的平面。
请同学们思考一下例题1，把点P的空间直角坐标（2，2√3，4）化为柱坐标。
我们一起来看这道题。已知点P的图像，根据点的空间直角坐标与柱坐标的关系，先列出公式。因为x = 2，y = 2√3，z = 4，很容易求出r的值。代入计算tanθ = √3，此时要注意θ角的取值范围，规定θ∈[0, 2π)。因为x＞0，此时θ = π / 3（因为x＞0且y＞0，实际把θ的角度缩小到了0到π / 2，即第一象限）。又因为r = 4，z = 4，所以点P的柱坐标为（4，π / 3，4）。
请同学们做一下练习1，把点P的柱坐标（6，π / 3， - 4）化为空间直角坐标。