师：好，同学们好。今天我们来学习高中数学，北京师范大学出版社高二年级选修4 - 4第一章第二节圆锥曲线统一的极坐标方程。我们来看一下今天的学习目标：一、了解圆锥曲线统一极坐标方程，明白方程中参数的几何意义；二、能根据圆锥曲线统一极坐标方程判断圆锥曲线的类型，并确定其基本量；三、能利用圆锥曲线统一极坐标方程，计算圆锥曲线过焦点的弦长。
同学们，在学习本节新课之前，我们先来回顾一下以前所学的知识。大家可以用笔简单记录一下，这些知识在本节课学习新知识时会用到。
首先，必修课中圆锥曲线的统一定义：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数e的点的轨迹，其中定点不在定直线上。当常数e大于0小于1时，点的轨迹是椭圆；当常数e等于1时，点的轨迹是抛物线；当常数e大于1时，点的轨迹是双曲线。
其次，求圆锥曲线直角坐标方程的步骤：一、建系；二、设点；三、列出等式；四、化简，得到直角坐标方程。这里要重点强调建系，对于同一个曲线，选择不同的坐标系，得到的方程不一样，选一个好的坐标系能使方程更简洁。其实这个步骤也是我们今天学习极坐标方程求解的步骤。
然后，曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化。极坐标化为直角坐标的关系式：(x = \rho \cos \theta)，(y = \rho \sin \theta)。直角坐标化为极坐标的关系式：(\rho^{2} = x^{2} + y^{2})，(\tan \theta = \frac{y}{x})（其中(x \neq 0)）。
接下来，我们利用以前所学知识来推导今天要学的知识，并用今天所学知识解决问题。
探究1：极坐标系下的圆锥曲线方程。
求解步骤：
第一步建系。设定点(F)，定直线(l)。过定点(F)作(FK)垂直于(l)，垂足为(K)。以(F)点为极点，(FK)的反向延长线(FX)为极轴，建立极坐标系。为什么这样选取呢？因为这样能使极坐标方程更简洁。
第二步设点。设(M(\rho,\theta))是曲线上任意一点，连接(MF)，作(MA)垂直于(l)，(MB)垂直于(FX)，垂足分别为(A)、(B)。根据圆锥曲线的定义，到定点的距离(MF)与到定直线的距离(MA)的比等于常数(e)，用符号表示为(\frac{MF}{MA} = e)。
第三步列出等式化简。设定点(F)到定直线(l)的距离(FK = p)，这里要特别注意，(p)为定点(F)到定直线(l)的距离，同学们要深刻理解(p)的几何意义。由图可知(MF = \rho)，(MA = BK = KF + FB = p + \rho \cos \theta)，最终得到(\frac{\rho}{p + \rho \cos \theta} = e)。
整理化简可得(\rho = \frac{ep}{1 - e\cos \theta})，记为方程一，这就是圆锥曲线的极坐标方程的表示形式。
我们把方程一变型为(\rho = e\rho \cos \theta + ep)，再将(\rho = \sqrt{x^{2} + y^{2}})，(\rho \cos \theta = x)代入，可把极坐标方程转化为直角坐标方程，得到(\sqrt{x^{2} + y^{2}} = e(x + p))。两边同时平方后整理可得((1 - e^{2})x^{2} + y^{2} - 2e^{2}px = e^{2}p^{2})，记为方程二，这就是圆锥曲线的直角坐标表示。
根据定义，当(e = 1)时，方程一是抛物线的方程，当(\theta)从(0)变化到(2\pi)，就得到抛物线上所有的点。从方程二来看，因为(e \neq 0)，所以(1 - e^{2} \neq 1)，此方程是一个无(xy)乘积项的二元二次方程，所以它不是圆的方程，而是圆锥曲线的直角坐标方程。
下面我们利用今天所学知识解决实际问题。
例1：判断方程(\rho = \frac{4}{2 - \cos \theta})是抛物线方程吗？给同学们1分钟思考时间。
好，同学们。看到这个题目，首先想到它给的是极坐标方程，那么有两种方法判断。
第一种方法，由极坐标方程化为直角坐标方程进行判断。因为我们对直角坐标方程比较熟悉。由(\rho = \frac{4}{2 - \cos \theta})，等式两边同乘分母得(2\rho - \rho \cos \theta = 4)，移项得(2\rho = \rho \cos \theta + 4)。再将(\rho = \sqrt{x^{2} + y^{2}})，(\rho \cos \theta = x)代入上式，整理化简可得直角坐标方程为(3x^{2} + 4y^{2} - 8x = 16)。从这个方程来看，它是不含(xy)项的二元二次方程，且(x^{2})的系数(3)与(y^{2})的系数(4)不相等，所以它表示的是椭圆而不是抛物线。
第二种方法，由极坐标方程化为(\rho = \frac{ep}{1 - e\cos \theta})的形式来判断。同学们观察例一所给方程与标准形式的不同点，会发现例一中方程右边分母的常数为(2)，而标准形式分母常数是(1)。要注意，当分母常数为(1)时，(\cos \theta)系数的绝对值就是曲线的离心率；当分母常数不为(1)时，(\cos \theta)系数的绝对值就不是曲线的离心率。所以我们对方程进行变形，(\rho = \frac{4}{2 - \cos \theta})，方程右边分子分母同除(2)，得到(\rho = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}\cos \theta})。从这种形式对比标准形式，可轻松得到曲线的离心率(e = \frac{1}{2})，(\frac{1}{2})大于(0)小于(1)，由此可判断此方程为椭圆方程而非抛物线方程。
从例1我们可以归纳总结出判断圆锥曲线极坐标方程是何种曲线的方法：一、由极坐标方程化为直角坐标方程进行判断；二、由极坐标方程化为(\rho = \frac{ep}{1 - e\cos \theta})的形式进行判断，但利用方法二时，要注意圆锥曲线统一极坐标方程在格式上的标准要求，当方程右边分母中的常数为(1)时，(\cos \theta)的系数的绝对值才是曲线的离心率，若该常数不为(1)，要先化为(1)再判断。