师：同学们好，今天我们来学习高中数学，北京师范大学出版社高二年级选修2 - 2第5章第2.2节复数的乘法与除法。首先，我们一起来回顾一下前面学习的复数的加法与减法法则。已知(Z_1 = a + bi)，(Z_2 = c + di)，(a)、(b)、(c)、(d)属于实数，则(Z_1 + Z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i)；(Z_1 - Z_2 = (a - c) + (b - d)i)。
我们再来复习一下初中学习的多项式的乘法法则。两个多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即((a + b)×(c + d) = ac + ad + bc + bd)。下面展开本节课的问题探究。若两个复数分别为(Z_1 = a + bi)，(Z_2 = c + di)，类比多项式的乘法则来计算，它们的乘积等于多少？
这就是我们这节课要学习的复数的乘法法则。(Z_1 = a + bi)，(Z_2 = c + di)，(a)，(b)，(c)，(d)属于实数，则(Z_1×Z_2 = ac + adi + bci + bdi2)，把(i2)换成(-1)，我们得到((ac - bd) + (ad + bc)i)。在这里面我们运算的时候要注意：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把(i2)换成(-1)，然后把实部与虚部分别合并即可。第二点，两个复数的积仍然是一个复数。
根据刚才所学的乘法法则，大家做例一。
（学生做题后）
师：第一题我们通过运算是(8 + i)。第二题(8 + i)。第三题，(10 + 15i)。第四题，(10 + 15i)。观察上述计算，复数的乘法运算是否满足交换律、结合律等运算律？大家观察一、二两个式子，由特殊到一般的思想，我们可以推出复数的乘法满足交换律，即(Z_1×Z_2 = Z_2×Z_1)。观察三四两个式子，你可以推出复数的乘法满足结合律，((Z_1×Z_2)×Z_3 = Z_1×(Z_2×Z_3))。同时，复数的运算还满足乘法对加法的分配律，即(Z_1×(Z_2 + Z_3) = Z_1×Z_2 + Z_1×Z_3)。大家课下的时候可以对这三个运算律进行证明。
我们再练一个带字母的复数的乘法。这个和我们初中学习的((a + b)(a - b))的多项式的乘法有点类似，展开等于(a2 - b2)，我们把它叫做平方差公式。通过计算我们可以得到((a + bi)(a - bi) = a2 - (bi)2)，把(i2)换成(-1)，可得(a2 + b2)。大家再来观察上面的这两个复数，发现这两个复数十部相等，虚部互为相反数。我们把这样的两个复数叫做互为共轭复数，记作(\overline{z})，即(\overline{z} = a - bi)。
请同学们思考：若(Z)与(\overline{Z})是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的位置关系？第二小题，(Z×\overline{Z})是一个怎样的数？(Z×\overline{Z})与(\vert Z\vert2)，(\vert\overline{Z}\vert2)有何关系？
（学生动手在复平面内画出对应点）
师：我们可以看出这两个复数所对应的点关于实轴对称。
第二个，(Z×\overline{Z} = a2 + b2)，它乘积的结果是一个实数。即(Z×\overline{Z} = \vert Z\vert2 = \vert\overline{Z}\vert2)。
口答，说出下列复数的共轭复数及乘积。
第一题，(1 + i)。
第二题，(5 - i)。
第三题，(-5 + 2i)。
第四题，(3 - 4i)。
第五题，(7)，要注意，实数的共轭复数是它本身。下一个是(4i)。(Z×\overline{Z})分别是(2)、(26)、(29)、(25)、(49)、(16)。
前面我们学习了复数的乘法，那复数的除法又该进行怎样的运算呢？我们注意到实数的除法运算是乘法的逆运算。类比思考，我们可以定义复数的除法，把满足((c + di)×(x + yi) = a + bi)且(c + di ≠ 0)的复数(x + yi)叫做复数(a + bi)除以复数(c + di)的商，其中(a)，(b)，(c)，(d)，(x)，(y)都是实数。我们记作(\frac{a + bi}{c + di})。
那怎么计算(x + yi)呢？要想求(x + yi)，只需求出实数(x)、(y)两个未知数，我们只需要找到关于(x)、(y)的两个方程。根据复数相等的等价条件，只需实部相等，虚部相等。所以利用乘法则把左边展开写成复数的代数形式。我们来看一下具体的操作过程。左边展开( = (cx - dy) + (dx + cy)i = a + bi)。这里面我们可以列出方程(\begin{cases}cx - dy = a\dx + cy = b\end{cases})。我们消元就可以解出(x)、(y)。比如上式乘以(c)，下式乘以(d)，然后两式相加，便可以得到(x = \frac{ac + bd}{c2 + d2})，同理可解(y = \frac{bc - ad}{c2 + d2})。