师：同学们好，欢迎走进今天的数学课堂。这节课我们将继续学习北师大版选修2 - 2第五章第二节——复数的加法与减法。通过上节课的学习，我们把实数集$R$扩充到了复数集$C$。我们都知道，两个实数之间可以进行加、减、乘、除等运算，而且这些运算还满足一定的运算律。那么在复数范围内，两个复数是否也能进行加、减、乘、除等运算呢？如果可以，这些运算是否也遵循一定的运算律呢？这就是本节课我们要学习的内容。
师：请同学们先完成这样一个小问题。这个化简其实是两个整式的加法与减法，下面我们一起来看看在化简过程中经历了哪些环节。首先去括号，然后利用加法交换律将同类项移到一起，再利用加法结合律将同类项合并。所以第一小题的结果为$1 + 4x$。经历同样的过程，我们可以得到第二小题的结果为$6 - x$。
师：在上节课中，我们规定虚数单位$i$可以和实数$b$相乘，得到$bi$，还可以和实数$a$相加，得到$a + bi$。而复数$a + bi$可以看成是关于$i$的一次二项式。基于这两点规定，我们可以给出复数的加法与减法法则。设$Z_1 = a + bi$，$Z_2 = c + di$，这里$a$、$b$、$c$、$d$均为实数。那么$Z_1 + Z_2$就是这两个复数的实部与实部相加，虚部与虚部相加，即$(a + c) + (b + d)i$；$Z_1 - Z_2$就是$(a - c) + (b - d)i$。我们用符号语言表述了复数的加法和减法法则，同学们能将符号语言转化成文字语言吗？
生：（思考、回答）
师：在这个等式左边是两个复数的和与差，等式右边是一个复数。也就是说，两个复数的和或差仍然是一个复数。这个复数实部中的$a$与$c$来源于原来两个复数的实部，它的实部是原来两个复数实部的和或差；等号右边这个复数虚部中的$b$与$d$来源于原来两个复数的虚部，它的虚部是原来两个复数虚部的和或差。我们学习了复数的加法、减法法则，请同学们利用这两个法则来做下面这个计算。
师：我们一起来看这个运算。解决这个问题的关键是找到对应复数的实部和虚部。在第一小题中，复数$3 - 2i$的实部为$3$，复数$-1 + 2i$的实部为$-1$，所以它们和的实部为$3 + (-1)$；第一个复数的虚部为$-2$，第二个复数的虚部为$2$，所以它们和的虚部为$-2 + 2$，从而得到结果为$2$。
在第二小题中，第一个复数$\sqrt{3} - i$的实部为$\sqrt{3}$，后一个复数$2\sqrt{3} - 4i$的实部为$2\sqrt{3}$，所以它们差的实部为$\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$；而第一个复数的虚部为$-1$，第二个复数的虚部为$-4$，所以它们差的虚部为$-1 - (-4)$，从而得到结果为$-\sqrt{3} + 3i$。请同学们再来计算例二。
师：仿照刚才的过程，我们一起来看。第一小题中找到复数$7 - 2i$与复数$1 + 4i$的实部和虚部，将相对应的实部与实部相加，虚部与虚部相加，得到结果为$8 + 2i$。同样，第二小题，我们仍然将复数$1 + 4i$与复数$7 - 2i$的实部和虚部对应相加，结果为$8 + 2i$。有同学已经发现了这两个小题的结果是一样的，那么结果一样，也就说明复数$7 - 2i$加复数$1 + 4i$等于复数$1 + 4i$加复数$7 - 2i$，这是一个偶然情况吗？
师：我们一起来分析一下。在第一小题中，两个复数的实部分别为$7$和$1$，所以这两个复数和的实部为$7 + 1$。在第二小题中，两个复数的实部分别为$1$和$7$，所以这两个复数和的实部为$1 + 7$，而$1$和$7$都是实数，所以它们满足实数加法的交换律，那么$7 + 1$必然等于$1 + 7$。同样，第一小题中两个复数的虚部分别为$-2$和$4$，它们的和为$-2 + 4$。第二小题中两个复数的虚部分别为$4$和$-2$，而$4$、$-2$也都是实数，所以它们仍然满足实数加法的交换律，那么$-2 + 4$必然等于$4 + (-2)$。所以这两个小题中对应的实部与实部相等，虚部与虚部相等，我们必然会得到这两个复数相等。那么同学们能不能将这个特殊的例子推广到一般的情况呢？
生：（思考、尝试回答）
师：首先我们给出两个一般形式的复数，$Z_1 = A_1 + B_1i$，$Z_2 = A_2 + B_2i$，$A_1$、$B_1$、$A_2$、$B_2$都属于实数集。复数$Z_2 + Z_1$就会等于$(A_2 + A_1) + (B_2 + B_1)i$。我们来看这两个复数，$Z_1 + Z_2$的实部为$A_1 + A_2$，$Z_2 + Z_1$的实部为$A_2 + A_1$，而$A_1$、$A_2$都是实数，所以它们满足实数加法的交换律，那么我们就会得出$A_1 + A_2 = A_2 + A_1$。
同样的，这两个复数的虚部分别为$B_1 + B_2$和$B_2 + B_1$，而$B_1$、$B_2$也都是实数，所以$B_1 + B_2$与$B_2 + B_1$也满足实数加法的交换律，那么我们就会得出这两个复数的实部和虚部分别对应相等，必然会有复数$Z_1 + Z_2 = Z_2 + Z_1$。这样我们就得出了复数的加法是满足交换律的，也就是复数$Z_1 + Z_2 = Z_2 + Z_1$。接下来请同学们再来计算一下例3。
师：我们一起来分析一下。第一小题中复数$3 - 2i$先与复数$-4 + 3i$相加，其结果再与复数$5 + i$相加。根据刚才我们所学的复数加法法则，我们先将括号里两个复数相加，对应的实部与实部相加，虚部与虚部相加，其结果再与$5 + i$相加，我们得到复数$4 + 2i$。同样，第二小题是先将复数$-4 + 3i$与复数$5 + i$相加，其结果再与复数$3 - 2i$相加。我们先将括号里两个复数相加，然后再加复数$3 - 2i$，得到结果也是$4 + 2i$。也就是说第一小题和第二小题这两个式子是相等的。我们一起来分析一下这两个小题有哪些共同点和不同点呢？
生：（思考、回答）
师：首先它们的共同点在于都涉及到相同的三个复数，也都涉及复数的加法。不同点在于，第一小题是先将复数$3 - 2i$与复数$-4 + 3i$相加，其结果再与复数$5 + i$相加；而第二小题是先将复数$-4 + 3i$与复数$5 + i$相加，其结果再与复数$3 - 2i$相加。也就是说这两个小题中三个复数的运算顺序是不一样的。