师：吹气球时会发现，随着气球内空气容量的增加，气球半径增加得越来越慢。从数学角度怎么解释这一现象呢？大家思考一下。如果把气球近似看成球体，其体积关于半径(r)的关系式为(V = \frac{4}{3}\pi r^{3})，我们要找半径(r)与(V)的关系，那么(r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}})。
对(r)关于(V)求导，(r^\prime(V) = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}} \times (\sqrt[3]{V})^\prime)，化简后为(\frac{1}{3} \times \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}} \times V^{-\frac{2}{3}})。
因为(V > 0)，所以(r^\prime(V) > 0)，这表明(r(V))是单调递增函数，即随着空气容量增加，气球半径增加。
再对(r^\prime(V))继续求导，((V^{-\frac{2}{3}})^\prime = -\frac{2}{3} \times V^{-\frac{5}{3}} < 0)，所以(r^\prime(V))是单调递减函数，也就解释了半径增加得越来越慢。生活中很多实际问题都和导数息息相关，接下来通过生活中的三个实例进行讨论。
首先看例1，如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功(W)是时间(t)的函数，设(W(t) = t^{3} - 6t^{2} + 16t)。我们要解决两个问题：第一，求(t)从(1)秒变到(3)秒时功(W)关于时间(t)的平均变化率，并解释它的实际意义；第二，求(W^\prime(1))，(W^\prime(2))，并解释它们的实际意义。大家先思考一下。
这里提到平均变化率，函数(f(x))在区间([a,b])上的平均变化率可写为(\frac{\Delta y}{\Delta x})，(\Delta y)就是(\frac{f(b) - f(a)}{b - a})。平均变化率在生活中应用广泛，比如新冠疫情期间，专家会根据平均变化率预测相关情况。
我们来看解题过程。当(t)从(1)秒变到(3)秒时，(W(1) = 1^{3} - 6\times1^{2} + 16\times1 = 11)焦耳，(W(3) = 3^{3} - 6\times3^{2} + 16\times3 = 21)焦耳。此时功关于时间(t)的平均变化率为(\frac{W(3) - W(1)}{3 - 1} = \frac{21 - 11}{2} = 5)焦耳每秒，它表示(t)从(1)秒变到(3)秒这段时间，这个人平均每秒做功(5)焦耳。
对于第二个问题，先对(W(t))求导，(W^\prime(t) = 3t^{2} - 12t + 16)。把(t = 1)和(t = 2)分别代入，可得(W^\prime(1) = 3\times1^{2} - 12\times1 + 16 = 7)焦耳每秒，(W^\prime(2) = 3\times2^{2} - 12\times2 + 16 = 4)焦耳每秒。(W^\prime(1))和(W^\prime(2))分别表示(t = 1)秒和(t = 2)秒时，这个人每秒所做的功为(7)焦耳和(4)焦耳。
大家想一想，这个定义在物理学中是不是出现过？在物理学中，力在单位时间内所做的功叫功率，单位是瓦特，所以(W^\prime(1))和(W^\prime(2))也可写为(7)瓦特和(4)瓦特。这是导数在物理学中的一个应用，在物理学中，单位时间内物体运动的路程叫速度，速度可看成路程关于时间(t)的导数，加速度可看成速度关于时间(t)的导数。
我们再看导数在其他方面的应用。在气象部门发布的天气预报中，常用小雨、中雨、暴雨等术语，气象学中用降雨强度区分降雨程度，把单位时间内的降水量称为降水强度，常用单位是毫米每天、毫米每小时。小雨指(24)小时内降水量不超过(10)毫米的雨；小雨到中雨指(24)小时内降水量为(5)毫米到(18)毫米；中雨指(24)小时内降水量为(10)毫米到(25)毫米；中到大雨指(24)小时内降水量为(18)毫米到(38)毫米；大雨指(24)小时内降水量为(25)毫米到(50)毫米；大到暴雨指(24)小时内降水量为(38) - (75)毫米；暴雨指(24)小时内降水量超过(50)毫米；大暴雨指(24)小时内降水量超过(100)毫米；特大暴雨指(24)小时内降水量超过(200)毫米。汛期时，我们会根据这些预报预防洪水等。来看一个题目。
下表记录了一次降雨过程中一段时间内的降雨量数据，降雨量(y)是时间(t)的函数，用(y = f(t))表示。第一问，分别计算当(t)从(0)变到(10)，从(50)变到(60)时，降雨量(y)关于时间(t)的平均变化率，并比较大小，解释实际意义；第二问，假设降雨量(y)关于时间(t)的函数近似表达式为(f(t) = \sqrt{10t})，求(f^\prime(40))，并解释实际意义。大家思考一下。
第一小问求平均变化率。当(t)从(0)变到(10)时，降雨量(y)从(0)变到(10)，此时降雨(y)关于时间(t)的平均变化率为(\frac{y(10) - y(0)}{10 - 0} = \frac{10 - 0}{10 - 0} = 1)毫米每分钟，表示从(0)分钟到(10)分钟这段时间内，平均每分钟降雨量为(1)毫米。当(t)从(50)变到(60)时，降雨量(y)从(22)变到(24)，此时降雨(y)关于时间(t)的平均变化率为(\frac{y(60) - y(50)}{60 - 50} = \frac{24 - 22}{60 - 50} = 0.2)毫米每分钟，表示从(50)分钟到(60)分钟这段时间内，平均每分钟降雨量为(0.2)毫米。因为(1 > 0.2)，说明这次降雨过程中，刚开始的(10)分钟比后(10)分钟雨下得大一些。
第二小问求(f^\prime(40))，先求(f^\prime(t) = \frac{5}{\sqrt{10t}})，将(t = 40)代入(f^\prime(t))可得(f^\prime(40) = \frac{5}{20} = 0.25)毫米每分钟。(f^\prime(40))表示(t = 40)分钟时降雨量关于时间(t)的瞬时变化率，即降雨强度，也就是(t = 40)分钟这个时刻的降雨强度为(0.25)毫米每分钟，据此可预测接下来的降雨强度。
这是导数在气象学中的应用。我们来看例3。建造一幢面积为(x)平方米的房屋，需要成本(y)万元，(y)是(x)的函数，(y = f(x) = \frac{x}{10} + \frac{\sqrt{x}}{10} + 0.3)。第一，当(x)从(100)变到(120)时，建筑成本(y)关于建筑面积(x)的平均变化率是多少？它代表什么意义？第二，求(f^\prime(100))，并解释实际意义。大家思考一下。
第一小问求平均变化率，按照(\frac{f(120) - f(100)}{120 - 100})计算。当(x)从(100)变到(120)时，建筑成本(y)关于建筑面积(x)的平均变化率为(\frac{f(120) - f(100)}{120 - 100} = \frac{12 + \frac{\sqrt{120}}{10} + 0.3 - (10 + \frac{\sqrt{100}}{10} + 0.3)}{20})，约等于(0.105)万元每平方米，表示在建筑面积从(100)平方米增加到(120)平方米的过程中，每增加(1)平方米的建筑面积，建筑成本平均约增加(1050)元。
第二小问，先对(f(x))求导，(f^\prime(x) = \frac{1}{10} + \frac{1}{20\sqrt{x}})，所以(f^\prime(100) = \frac{1}{10} + \frac{1}{200} = 0.105)万元每平方米。(f^\prime(100))表示当建筑面积为(100)平方米时，成本增加的速度为(1050)元每平方米，即当建筑面积为(100)平方米时，每增加(1)平方米的建筑面积，成本就增加(1050)元。这涉及到经济学中的边际概念，这里叫边际成本。设总成本函数为(C = C(Q))，(C)表示总成本，(Q)表示产量，则(C^\prime(Q))称为产量为(Q)个单位时的边际成本。边际成本的经济意义是当产量达到(Q)个单位时，再增加一个单位的产量，总成本将增加(C^\prime(Q))个单位。除了边际成本，经济学中还有边际收入、边际利润的概念。设总收入为(R = R(Q))，(R)表示总收入，(Q)表示销售量，则(R^\prime(Q))称为销售量为(Q)个单位时的边际收入，其经济意义是销售量达到(Q)个单位时，再增加一个单位的销售量，相应的总收入增加(R^\prime(Q))个单位。设总利润为(L = L(Q))，(L)表示总利润，(Q)表示销售量，则(L^\prime(Q))称为销售量为(Q)个单位时的边际利润，其经济意义是销售量达到(Q)个单位时，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加(L^\prime(Q))个单位。
学以致用，来看一道练习。设生产(q)件某商品的总成本函数为(C(q) = 1500 + 34q + 0.3q^{2})，产品销售单价为(p = 280)元每件。第一，求该产品的总利润函数(L(q))；第二，求该产品的边际利润函数以及销售量为(q = 420)个单位时的边际利润，并作出经济意义上的解释。
利润等于总收入减去成本，已知销售单价和生产量，总收入为(pq)，所以总利润函数(L(q) = R(q) - C(q) = 280q - 1500 - 34q - 0.3q^{2} = -1500 + 246q - 0.3q^{2})。
边际利润函数是对利润函数(L(q))求导，(L^\prime(q) = 246 - 0.6q)。当(q = 420)时，(L^\prime(420) = 246 - 0.6×420 = -6)。这说明当销售量达到(420)件时，多销售一件该产品，总利润会减少(6)元。此时还会不会再多销售，大家可以思考一下。
我们把题目修改一下，销售量为何值时利润取得最大值？刚才求(L(q))是关于(q)的二次函数，二次函数的最大值求解是以后要学习的内容，除了之前学的方法，还有没有其他方法求函数最大值，这也是我们之后要探讨并掌握的。
大家回想一下本节课学了什么。第一，掌握实际问题中导数的意义；第二，明确实际问题中的函数自变量以及变化率；第三，建立导数的数学模型；第四，结合实际，明确在实际问题中导数的含义以及需要用导数概念来理解的量。大家思考一下，日常生活中还有哪些概念与导数息息相关？老师总结了一些：功关于时间(t)的导数是功率；降雨量关于时间的导数是降雨强度；生产成本关于产量的导数是边际成本；总收入关于产量导数是边际收入；总利润关于产量导数是边际利润；路程关于时间的导数是速度；速度关于时间的导数是加速度。除此之外，大家课下可以继续探讨总结。本节课就讲到这里。