师：同学们好，今天我们来学习 4 - 4 第一章第一节平面直角坐标系与曲线方程。提到坐标系，不得不说一位法国著名的哲学家、物理学家、数学家，黑格尔称他为近代哲学之父，他就是笛卡尔，也是解析几何的创始人之一。笛卡尔创建坐标系的过程有个生动小故事。据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，但他还在反复思考一个问题：几何图形直观，代数方程抽象，能不能把几何图形与代数方程结合起来呢？关键在于如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组数建立联系。他苦苦思索，突然看到屋顶上一只蜘蛛在蜘蛛网上爬来爬去，思路豁然开朗，坐标系便有了最初的轮廓。当初笛卡尔的坐标系并不完善，经后人不断改进，才形成今天的直角坐标系。不过，笛卡尔迈出的最初一步具有决定性意义。
我们回顾一下，在平面直角坐标系中，任意一个点都能和有序实数对建立对应关系，反过来，给定有序实数对（x，y），也能对应一个点，即平面直角坐标系中任意一点 P 和有序实数对（x，y）是一一对应的。而曲线可看作满足某些条件的点的集合或轨迹，由此我们可以借助坐标系研究曲线与方程的关系。
来看这样的探究题，设区间 c 表示直角坐标系中以点（a，b）为圆心，r 为半径的圆。探究一：曲线 c 上的点的坐标都是方程((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2)的解吗？我们知道圆的定义是在平面内到定点的距离等于定长的点的集合。设 m 点是圆上的动点，坐标为((x_0,y_0))，那么它到圆心的距离等于半径，即(\sqrt{(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2} = r)，也就是((x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2)，这说明点(m(x_0,y_0))的坐标是方程((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2)的解。
探究二：如果((x_0,y_0))是方程((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2)的解，那么点(m(x_0,y_0))一定在曲线 c 上吗？若((x_0,y_0))是方程的解，即((x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2)，两边开平方得(\sqrt{(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2} = r)，说明以这个点为坐标的点到点（a，b）的距离为 r，它一定在以（a，b）为圆心，r 为半径的圆上。
通过刚才的思考，我们能得到什么结论呢？一、曲线 c 上的点的坐标都是方程((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2)的解；二、以方程((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2)的解为坐标的点都在曲线 c 上。于是可以抽象概括出，在平面直角坐标系中，如果某曲线 c 上的点与二元方程(f(x,y) = 0)的实数解建立了如下关系：一、曲线 c 上的点的坐标都是这个方程的解；二、以这个方程的解为坐标的点都在曲线 c 上，那么方程(f(x,y) = 0)叫做这条曲线 c 的方程，曲线 c 叫做这个方程(f(x,y) = 0)的曲线。这里要注意，曲线的方程和方程的曲线是两个不同概念，是从不同角度的两种说法。区间 c 的点集和方程(f(x,y) = 0)的解集之间建立了一一对应关系。曲线的性质可反映在它的方程上，方程的性质也能反映在曲线上。定义中的条件一说明曲线上所有点都适合这个方程，条件二说明适合这个方程的点都在曲线上，毫无遗漏。
我们一起回顾下以前学过的常见曲线方程。刚才讲了圆的方程，还有直线方程，它有 5 种形式，一般式是(ax + by + c = 0)，这里系数 a 和 b 不同时为 0。焦点在 x 轴上的椭圆标准方程是(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a > b > 0)。焦点在 x 轴上的双曲线标准方程是(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a > 0)，(b > 0)。开口向右的抛物线标准方程是(y^2 = 2px)，其中(p > 0)。当然还有其他常见曲线方程，不再一一列举。通过刚才的学习，下面通过例题辨析这些概念。
师：请同学们思考例一，如果曲线 c 上的点的坐标（x，y）都是方程(f(x,y) = 0)的解，那么 A、B、C、D 哪个答案正确呢？看到这个题目，我们想到曲线的方程与方程的曲线的定义中的两个条件，这里只满足第一个条件，没给出第二个条件，即不知道以这个方程的解为坐标的点是否都在曲线上，可能都在，也可能部分在部分不在。所以 A 答案“以方程(f(x,y) = 0)的解为坐标的点都在曲线 c 上”错误；B 答案“以方程(f(x,y) = 0)的解为坐标的点有些不在曲线 c 上”，C 答案“不在曲线 c 上的点都不是方程(f(x,y) = 0)的解”，显然 A、B、C 都错误，答案只能是 D。我们可以借助原命题和它的否命题同真同假的关系来理解，坐标不满足(f(x,y) = 0)的点也就不在曲线 c 上，所以此题答案是 D。
再看一组练习。已知方程(x^2 + (y - 1)^2 = 10)，两个问题。第一个问，判断点 P、Q 是否在此方程所表示的曲线上。根据定义，点在曲线上则点的坐标满足方程，代入方程，P 点坐标代入等于 10 满足，Q 点坐标((\sqrt{2},3))代入等于 6 不等于 10，所以点 P 在方程所表示的曲线上，点 Q 不在。第二个问题，若点 M 在此方程表示的曲线上，求 M 的值。同样把点 M 的坐标代入方程，因为它在曲线上应满足方程，可解得(M = 2)或(M = -\frac{18}{5})，这里直接利用了方程与曲线的定义。
师：看例 2，画出下列方程所表示的曲线，请同学们动手试试。
第一个方程看起来像圆的标准方程，但右边等于 0，所以不是圆。几个非负数的和等于 0，则每一个非负数都等于 0，所以(x - 2 = 0)，(y + 7 = 0)，即(x = 2)，(y = -7)，它对应的是一个点，坐标为((2,-7))。要强调的是，曲线不只是弯曲的，它是满足某些条件的点的集合或轨迹，一个点也属于曲线范畴。