师：我们知道归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推出该类事物中每一个事物都有这种属性，它是由部分到整体、由个别到一般的推理。而类比推理是由两类对象具有某些类似特征，以及其中一类对象的某一特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，是由特殊到特殊的推理。例如，已知正三角形内切圆的半径是高的1/3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是什么呢？
我们来看，在平面三角形ABC中，上节课讲过，从平面类比到空间，一般点类比到点，线类比到面，面类比到体。这里告诉我们三角形内切圆半径是高的1/3，这是利用面积转化得到的。假设内切圆的圆心为O点，三角形面积等于1/2底乘高，假设边长设为a，高设为h，它等于3个小三角形面积之和，也就是3倍的1/2乘以a乘以r，由此可得h = 3r，这是利用等面积转换法。那到空间正四面体，我们利用等体积转化，设内切球的球心为O，它到正四面体四个面的距离都是r，分别连接球心O与A点、B点、C点、D点，这样就把正四面体分成四个小三棱锥。
设正四面体的底面为S，其余三个面也都是S，利用体积转化，正四面体体积等于1/3Sh（h为高），又等于4倍的1/3Sr（分成4个小三棱锥），于是可得h = 4r。所以结论就是在空间正四面体中，内切球的半径是高的1/4。
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它称为合情推理。回顾完知识之后，我们先来做一个简单的测评。第一题，已知I? = 3，I? = 6，I??? = I??? - I?，求I??。
拿到这个题，我们发现可以通过计算I?、I?、I?、I?……一直求到I??，但我们思考能不能算出几项后发现规律。一起来看，计算可得I? = 3，I? = -3，I? = -6，I? = -3，I? = 3，I? = 6。所以我们发现{I?}是以6个项为周期循环出现的，所以I?? = I? = 3，正确答案应该是A选项。看第二题，对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”，推广到空间，正四面体内任意一点到各面的距离之和是否为定值呢？
我们来看，假设S - ABC为正四面体，在正四面体内任意取一点O。假设正四面体的边长为a，那么正四面体一个面三角形ABC的面积应该是√3/4 a2。设点S到底面ABC的距离为h，我们很容易得到正四面体的体积V????? = 1/3 × √3/4 a2 × h。从S向底面ABC作垂线段，垂足设为E点，E点就是三角形ABC的重心，因为这是正三角形ABC，设CF为高，CF = √3/2 a，于是可得CE = 2/3 CF = √3/3 a。所以h2 = SC2 - CE2 = a2 - 1/3 a2 = 2/3 a2，所以h = √6/3 a。于是正四面体体积V????? = 1/3 × √3/4 a2 × √6/3 a。
同样，从O点连接S、A、B、C四个点，把正四面体分解为四个小三棱锥。设O到四个面的距离分别设为H?、H?、H?、H?，那么它的体积就等于1/3 × √3/4 a2 ×（H? + H? + H? + H?）。于是可得H? + H? + H? + H? = √6/3 a，也就是说正四面体内任意一点到各个面的距离之和等于边长的√6/3倍，正好等于S到面ABC的距离h，所以正确答案应该是A正确。第三题，设f(x) = x / (x + 2)，观察下列四个式子，根据以上事实由归纳推理可以得到f?(x)等于什么？
我们发现，观察f?(x)、f?(x)、f?(x)、f?(x)，分母2、4、8、16分别是2的1次方、2的平方、2的3次方、2的4次方，而前面的系数1、3、7、15正好是2的n次方减1。于是我们可以得到f?(x) = x / ((2? - 1)x + 2?)，通过前面的归纳我们得到了f?(x)。下面我们来看推理在它的应用是什么样的，我们来看看首先在代数中的归纳推理。应用归纳推理推测2n个1减去n个2的值是多少？第二，已知数列{a?}满足a??? = 1 / (2 - a?)，其中a? = 0，通过计算a?、a?、a?、a?的值归纳猜想a?的通项公式。
我们来看第一题，从题目直接看可能猜不到值，但我们可以从n取不同值时找规律。例如n = 1时，它等于3；n = 2时，得到33；n = 3时，得到333；n = 4时，得到3333。于是我们猜想2n个1减去n个2应该等于n个3，这是由特殊到一般。