师：今天我们学习高中数学北师大版选修1 - 2第四章第一节数系的扩充与复数的引入第一课时。我们先看几个问题，在自然数集中，方程x + 1 = 0有解吗？我们知道在自然数范围内，这个方程无解。为了使它有解，我们引入了负整数，把自然数扩充到整数。接着看第二个问题，在整数集中方程2X = 3有解吗？显然在整数范围内也无解，为了使该方程有解，我们引入分数，将整数扩充到有理数。再看第三个问题，在有理数集中方程x2 = 2有解吗？我们知道它没有有理数解，为了使该方程有解，我们引入无理数，把有理数扩充到实数。随着社会发展，人们发现实数还是不够用，又出现了新问题。比如第四个问题，在实数集中方程x2 + 1 = 0有解吗？我们解这个方程会发现无实数解。既然为了使方程x2 = 2有解，我们能在有理数基础上引入无理数，那能不能类比这种方式，为了使x2 = -1有解，在实数基础上引入虚数呢？于是我们定义一个新数i，使得i2 = -1。
早在1545年，意大利数学家卡尔达诺就开始讨论负数开平方的问题，当时他把复数称为“诡变量”。经过几十年研究，1637年，法国数学家笛卡尔把这些数叫做虚数。又过了100多年，1777年，数学家欧拉首次提出用i表示平方等于 -1的新数。直到1801年，数学家高斯系统使用i这个符号。经过几百年研究，我们引入了这个数i，i叫做虚数单位，同时规定i2 = -1，实数与i可以进行四则运算，并且在运算时，原有的加法和乘法运算律仍然成立。通过这两项规定，实数得以扩充，复数就产生了。
我们这节课重点学习复数。现在大家看课本73页内容，并完成下面5个问题：第一个问题，什么是复数？第二个问题，复数的实部和虚部是怎么定义的？第三个问题，复数如何分类？第四个问题，复数集是什么？最后一个问题，复数集与以前常用的数集有怎样的关系？大家认真阅读课本后完成这5个问题。
课本先展示了常用数集间的关系，再通过问题引入虚数单位i，并做了两项规定：i2 = -1，i可以与实数b相乘。这里要注意，因为0和任何实数相乘都为0，所以类似规定0×i = 0，这样就出现了一个新数。接下来5个问题就呈现出来了。大家快速找答案，我们马上来看第一个问题：什么是复数，复数的实部和虚部如何定义，复数怎样分类，什么是复数集，复数集与其他数集关系如何。
相信大家已经在课本上完成了这5个问题，我们一起来分享答案。第一个问题，什么是复数？经过两项规定后，形如a + bi（a，b ∈ R）的数叫做复数。所以复数概念包含两部分，一是形式要形如a + bi，二是a、b要属于实数集R，这个整体就叫复数，常用z表示，记作z = a + bi（a，b ∈ R）。这时，我们称a为该复数的实部，b为该复数的虚部。实部英文缩写为Re，虚部英文缩写为Im(z)，i依然是虚数单位。因为复数的实部和虚部在实数范围内任意取值，所以随着a、b取值不同，复数有了如下分类：
当复数的虚部等于0时，该复数就是实数；若虚部不等于0，该复数就是虚数。在虚数中，有一个特殊的虚数叫纯虚数，纯虚数要满足实部等于0且虚部不等于0，其余虚数称为非纯虚数，即实部不等于0且虚部也不等于0。
我们把所有复数组成的集合叫做复数集，用大写字母C表示。显然，实数集R是复数集的子集，因为复数由实数和虚数组成，所以实数集R是复数集C的真子集。通过对这几个问题的探讨，我们知道了复数集概念的产生，复数集用C表示后，复数集与其他数集的关系就清晰了。常见的自然数集N是整数集Z的子集，整数集Z是有理数集Q的子集，有理数集Q是实数集R的子集，实数集R又是复数集C的子集。通过解决这几个问题，我们这节课的内容就完成了。结合这些内容，我们来看几个例题。
例1，说出下列复数的实部和虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，是否为纯虚数。第一个数 -2 + 4i，它是常见的a + bi形式，所以实部是 -2，虚部是4。由于虚部不等于0，所以它不是实数，又因为实部不等于0，所以它不是纯虚数。
第二个数 -$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，要找它的实部和虚部，可写成0 + (-$\frac{\sqrt{3}}{2}$)i的形式，这样实部是0，虚部是 -$\frac{\sqrt{3}}{2}$。因为虚部不等于0，所以它是虚数，又因为实部等于0，所以它是纯虚数。