师：各位同学大家好，今天由我带领大家学习数学，内容是高中数学北京师范大学出版社选修1 - 2第四章第一节数系的扩充与复数的引入第二课时。上节课我们学习了复数的概念、分类以及各数集之间的关系。相信经过昨天的课程，大家对数的发展、数系的扩充以及复数的相关概念已有一定了解，现在一起来回顾一下。
复数的概念：我们把形如(a + bi)（(a,b\in R)）的数叫做复数，其中(a)叫做复数的实部，(b)叫做复数的虚部，(i)称为虚数单位。这里要注意复数实部与虚部的取值范围，(a,b)都属于实数(R)。
复数的分类：按照复数实部与虚部的取值，将复数分为实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数。那拿到一个复数，如何对其分类呢？首先要把复数写成(a + bi)这种形式，之后观察它的虚部(b)，若虚部(b = 0)，则该复数为实数；若虚部(b\neq0)，则该复数为虚数。在(b\neq0)的情况下，再观察实部(a)，若实部(a = 0)，则该虚数为纯虚数；若(a\neq0)，则该虚数为非纯虚数。大家一定要清楚它成为每一类数时所满足的条件。
各数集之间的关系：经过昨天学习，我们已把数集扩充到数系中最大的复数集(C)。那么复数集(C)和我们原来接触的常见数集有什么关系呢？我们知道自然数集(N)是整数集(Z)的真子集，即(N\subsetneqq Z)；整数集(Z)是有理数集(Q)的真子集，即(Z\subsetneqq Q)；有理数集(Q)是实数集(R)的真子集，即(Q\subsetneqq R)；实数集(R)是复数集(C)的真子集，即(R\subsetneqq C)。基于原有知识，两个实数之间存在大小以及相等关系，那复数之间存在大小以及相等关系吗？为解决这个问题，我们需要类比实数，对复数做更深入学习。
下面先复习一下实数的相关知识。大家想想，在集合上我们是如何表示实数的呢？
生：在中学阶段，我们可以用数轴上的点来表示实数，并且实数与数轴上的点是一一对应的。
师：很好。实数是代数中的数，数轴上的点是集合中的形。我们用数与形相结合的方法研究实数，能让实数问题既形象、直观又具体。这种方法在数学上叫做数形结合思想，它既可以分析代数意义，又能揭示几何意义，使数量关系和几何形式巧妙结合，让复杂问题简单化，抽象问题具体化。
类比实数的研究方法，我们来学习复数。首先思考，复数该如何表示呢？我们知道复数的一般形式为(z = a + bi)（(a,b\in R)），(a)叫做实部，(b)叫做虚部。大家观察这种形式，思考一个问题：一个复数是由什么唯一确定的呢？
生：经过思考和观察，一个复数(z = a + bi)，可以看成是由它的实部(a)和虚部(b)所形成的有序实数对((a,b))来唯一确定。
师：非常好。说到有序实数对，大家应该不陌生，会立刻想到平面直角坐标系。而且我们知道平面直角坐标系内的点((a,b))与有序实数对((a,b))之间是一一对应的。我们不妨把该点设为(Z)，一个复数由有序实数对((a,b))唯一确定，而有序实数对((a,b))又与直角坐标平面内的点(Z(a,b))一一对应。此时可以说复数(z = a + bi)可以用直角坐标平面内的一个点(Z)来表示，这个点的横坐标为(a)，即复数的实部，纵坐标为(b)，即复数的虚部。通过观察能发现，表示实数的点都在(x)轴上，表示纯虚数的点都在(y)轴上。当我们用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标平面为复平面，(x)轴称为实轴，(y)轴称为虚轴。这样每一个复数在复平面内都有唯一确定的一个点与它对应，反过来，复平面内的每一个点也都有唯一确定的一个复数(z)与之相对应。所以可以表示为：复数(z = a + bi)（(a,b\in R)）与复平面内的点(Z(a,b))是一一对应的。这就是今天要讲的第一个知识点——复数的几何意义，也就是复数可以利用复平面内的点来表示。复数是代数中的数，复平面内的点是集合中的形，所以研究复数可以类比实数，利用数形结合的方法。我们继续看。
经过刚才学习，我们知道复数(z = a + bi)与复平面内的点(Z(a,b))一一对应，而点(Z(a,b))又与复平面内的平面向量(\overrightarrow{OZ})一一对应。所以可以说，复数(z = a + bi)与复平面内的平面向量(\overrightarrow{OZ})也是一一对应的。
如果设表示复数的点为(Z)，我们把点(Z)到坐标原点(O)之间的距离叫做该复数的模，记作(\vert z\vert)，类似于实数中绝对值的表示方法。通过观察不难发现(\vert z\vert = \sqrt{a^{2} + b^{2}})，即根号下实部平方加虚部平方。也能看出复数(z)的模与它相对应的平面向量(\overrightarrow{OZ})的模是相等的。这是本节课要介绍的第二个知识点——复数的模。
现在回到最初的问题，复数存在大小及相等关系吗？除了解决这个问题，还能得出哪些结论呢？大家看这个图，通过上面学习，已知任意一个复数都可以用复平面内的点来表示。此时用点(Z_1(a,b))来表示复数(a + bi)，用点(Z_2(c,d))来表示复数(c + di)。观察图形并回答第一个问题：复数存在大小关系吗？
生：从形的观点出发观察图形，两个点之间无法比较大小。
师：所以我们可以得出结论，复数一般不能比较大小。但是如果两个复数它们的虚部均为(0)时，两个复数就变成了两个实数，此时它们之间存在大小关系。也就是说，复数一般不存在大小关系，但存在相等关系。除此之外，还能得到什么结论呢？
生：两个复数之间一般不存在大小关系，但是可以比较它们模的大小。
师：非常好。我们一起来总结通过形的方面得出的一些结论。第一个结论，两个复数一般不能比较大小，可以比较它们模的大小；第二个结论，两个复数一般不能比较大小，但当实部与实部相等，虚部与虚部相等，即(a = c)且(b = d)，在复平面内两点重合时，这两个复数存在相等关系。这是从形的方面得出的结论。那么从数的方面，我们可以把复数(z = a + bi)看成是关于(i)的一次二项式，类比二项式相等的意义，我们规定两个复数(a + bi)与(c + di)相等，当且仅当(a = c)且(b = d)，也就是实部与实部相等，且虚部与虚部相等。从几何方面来说，表示两个复数的点在复平面内重合时，称这两个复数相等。这就是今天要介绍的第三个问题——复数相等。结合刚才所学内容，下面来看几个例题。