师：同学们，大家好。今天我们学习北师大版数学选修1 - 2第一章第二课时相关系数。首先回顾上节课内容：两个变量的关系可分为三类，即不相关、函数关系、相关关系。其中相关关系又分为线性相关与非线性相关，目前我们主要研究线性相关。用回归分析方法解决实际问题一般有三步：第一步画散点图，第二步求回归直线方程，第三步利用回归直线方程进行预测。画散点图能帮助我们直观了解两个变量的关系。求回归直线方程有多种方法，上节课重点学习了最小二乘法，它是求线性回归方程的较好方法。我们要了解最小二乘法的基本思想，能利用给出的系数公式计算出线性回归方程。而且用最小二乘法求得的线性回归方程恒过$(\overline{x},\overline{y})$这个点，我们在数学中称之为样本点的中心。
下面思考一个问题，在给出的三个散点图中，都能用最小二乘法求出相应的线性回归方程。用求出的线性回归方程进行预测可以吗？
可以看出，在前两个图中两变量的关系并非线性相关，此时建立线性回归方程没有意义，预测结果也不合理。第三个图中两变量线性相关，求得的线性回归方程有意义，可以进行预测。所以在使用最小二乘法求线性回归方程之前，必须先判断两个变量是否线性相关。目前我们常通过散点图来判断，下面再思考一个问题，下面的两个散点图中两变量是否线性相关？
从散点图很难判断两个变量是否线性相关，比如右边的图形，有的同学觉得这些点分布在一条直线附近，也有的同学觉得这些点分布在一条弯曲的线附近。另外，当数据量很大时，画散点图比较复杂。所以我们想，除了散点图以外，有没有其他方法判断两个变量是否线性相关。为解决类似问题，数学中引入了相关系数$r$。这是$r$的公式，有点复杂，和上节课学习的$b$的公式有点像。
以后利用给出的数据计算出$r$的值，就能根据$r$的值判断两个变量的线性相关程度，非常方便。那么如何根据$r$的值判断变量的线性相关程度呢？这涉及相关系数的性质。书本上不需要同学们证明相关系数的性质，但要了解。
$\vert r\vert\leq1$，任意给出一组数据套用公式计算$r$，$r$的值总是介于$-1$和$1$之间，而且$\vert r\vert$越大，变量的线性相关程度越强；$\vert r\vert$越小，变量的线性相关程度越弱。通常，当$\vert r\vert\gt0.75$时，就可认为两个变量有很强的线性相关关系，此时建立线性回归方程有意义，也能进一步进行预测。另外，当$r = 0$时，不能认为这两个变量是线性相关的，此时建立线性回归方程没有意义；当$r = \pm1$时，所有点都落在一条直线上，此时两个变量的关系不是线性相关，而是线性关系。
$r\gt0$时，称两变量正相关，此时一个变量增大，另一个变量有增大的趋势；$r\lt0$时，称两变量负相关，此时一个变量增大，另一个变量有减少的趋势。
关于性质二，我们简要分析一下。把$r$的公式和$b$的公式对比，会发现这两个公式分母全部恒正，分子相同，所以$r$的符号与$b$的符号应该一样。$r\gt0$时，$b$的值为正，此时求得的线性回归方程是一条上升的直线；$r\lt0$时，$b$的值为负，求得的线性回归方程是一条下降的直线。下面通过几张图片直观认识散点图与相关系数的对应关系。
在这张图中，所有点分布在一条直线附近，可认为这两个变量是线性相关的，此时$r$的值等于$-0.79$。
第二张图中这两个变量应该是不相关的，计算出$r$的值等于$0$。
第三张图中，从散点图看，这两个变量也不能看成是线性相关的，此时$r$的值还是$0$。
第四张图中所有散点落在一条上升的直线上，此时两变量是线性的，对应的$r$值等于$1$。
目前判断两个变量的线性相关程度有两种方法，一是散点图，二是通过相关系数。下面思考一个问题，散点图与相关系数在判断变量关系时各自的特点。