师：同学们好，欢迎来到数学课堂。今天我们来学习简单复合函数的求导法则。首先明确学习目标：一是了解形成复合函数的变量之间的关系，会将一个复合函数分解成两个或多个简单函数；二是了解复合函数的求导法则，会求形如(y = f(ax + b))（(a \neq 0)）这种形式的简单复合函数的导数；三是通过对简单复合函数求导法则的探究，培养由特殊到一般的归纳推理能力，通过复合函数求导法则的应用，提升逻辑推理、数学运算和数学建模的学科素养。
下面我们一起回顾一下前面所学知识。常见函数的求导公式，表格里8种常见初等函数的求导公式大家一定要牢记，特别是对数函数、指数函数的求导公式容易记错，这些公式是解决求导问题的工具。导数的四则运算法则：法则一和法则二是两个函数和与差的导数，运算法则是两个函数和与差的导数等于对两个函数分别求导后的和与差；法则三是乘法的运算法则，要注意(f(x) \cdot g(x))的导数等于(f^\prime(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^\prime(x))。特别地，当(g(x) = k)时，可推广出一个新的求导公式，即((k \cdot f(x))^\prime = k \cdot f^\prime(x))；法则四是除法的运算法则，要注意分母不能为(0)。
有了这些知识，我们能解决一些常见函数的求导问题。但是不是还会碰到仅用几种常见导数公式和导数四则运算法则解决不了的求导问题呢？带着这个疑问，来看下面的例子。海上一艘游轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形成圆形油膜。油膜的面积(S)是油膜半径(r)的函数，解析式为(S = f(r) = \pi r^2)。油膜的半径(r)随时间(t)增加而扩大，假设(r)关于(t)的函数为(r = \varphi(t) = 2t + 1)。同学们回答下面问题：时间(t)与油膜的面积(S)之间存在函数关系吗？如果存在，能求出(S)与(t)之间的关系式吗？
因为(S)是(r)的函数，(r)是(t)的函数，时间(t)决定油膜半径(r)，油膜半径(r)决定油膜面积(S)，所以(S)和(t)之间通过半径(r)建立起了函数关系。由上述两个函数关系式，可得出新函数关系式为(S = f(\varphi(t)) = \pi(2t + 1)^2)，这里(S)为因变量，(t)为自变量。通过分析可知，新函数是由函数(f(r))和(\varphi(t))通过变量(r)形成的新函数关系，即(S = f(\varphi(t)))，这种形式的函数就是我们今天要讲的复合函数。
我们来看复合函数的定义：一般地，对于两个函数(y = f(u))和(u = \varphi(x) = ax + b)，给定(x)的一个值就得到(u)的值，进而确定(y)的值，这样(y)就可以表示为(x)的函数，我们称这个函数为(y = f(u))和(u = \varphi(x))的复合函数，记作(y = f(\varphi(x)))，其中(u)为中间变量。把函数(f(u))叫做外层函数，(\varphi(x))叫做内层函数。
在学习了复合函数定义的基础上，我们能不能判断一个函数到底是不是复合函数呢？请看下面例子，说明下列函数是否为复合函数，若是，怎样复合而成的？
第一个函数(y = (3x - 2)^2)。我们引入中间变量(u)，令(u = 3x - 2)，那么此函数就是由(y = u^2)和(u = 3x - 2)复合而成，所以它是复合函数。
第二个(y = \sin2x)，引入中间变量(u)，令(u = 2x)，那么(y = \sin2x)就可以由(y = \sin u)和(u = 2x)复合而成，所以它也是复合函数。
对于第三个函数(y = (x + 1)\ln x)，观察可知这个函数是由(y = x + 1)和(y = \ln x)相乘得到的，不符合复合函数的定义，所以它不是复合函数。
思考：例如(y = \sin2x)，如何求导？(\sin2x)的导数等于(\cos2x)正确吗？带着这个问题，我们来探究复合函数的求导法则。
继续看前面的实例，问题二：油膜的面积(S)关于时间(t)的瞬时变化率是多少？由于(S)是关于(t)的复合函数，解析式为(S = f(\varphi(t)) = \pi(2t + 1)^2)。由导数的定义可知，油膜面积(S)关于时间(t)的瞬时变化率就是函数(S = f(\varphi(t)))的导函数，所以需要对这个函数求导。
因为(f(\varphi(t)) = \pi(4t^2 + 4t + 1))，借助导数公式和导数的四则运算法则求导，可得(f^\prime(\varphi(t)) = \pi(8t + 4) = 4\pi(2t + 1))。
下面做个尝试，既然是复合函数，可分成内层函数和外层函数，它的外层函数是(f(r) = \pi r^2)，内层函数是(\varphi(t) = 2t + 1)。分别对这两个函数求导，(f^\prime(r) = 2\pi r)，(\varphi^\prime(t) = 2)。把这两个结果相乘，(2\pi r \times 2)，将(r = 2t + 1)代入，就等于(4\pi(2t + 1))，也就是说(S = f(\varphi(t)))的导数等于内层函数和外层函数导数的乘积。思考：其他复合函数是否也满足此结论呢？
带着这个问题，看下面两个例子，求下列函数的导数：
(y = (3x - 2)^2)
(y = \sin2x)
通过它们的求导过程与上面的实例相结合，能发现什么规律呢？
对于第一题，(y = (3x - 2)^2)展开就是二次函数，其导数很容易求，为(18x - 12)。若将这个函数看成复合函数，引入中间变量(u)，令(u = 3x - 2)，那么(y = u^2)，(u = 3x - 2)。分别对内外层函数求导并将结果相乘，(18x - 12 = 3 \times 2u)，再将(u = 3x - 2)代入，也能得出与刚才实例相同的结论，即(y)对(x)的导数等于(y)对(u)的导数乘上(u)对(x)的导数。
再看第二题，(y = \sin2x)，利用现有的知识，可将其分解成(2\sin x \cos x)，然后利用积的导数运算法则求解，导数为(2\cos2x)，这就回答了前面的思考，(\sin2x)的导数不等于(\cos2x)。
从复合函数角度思考，设中间变量(u = 2x)，则(y = \sin u)。分别对(\varphi(x))和(f(u))求导，两个导数结果的乘积(2\cos u)，也等于(2\cos2x)，也就是说它也满足上面两个题目所得的结论。
由上述三个例子，从特殊到一般，能得出结论：复合函数(f(\varphi(x)))的导数等于(f^\prime(u) \cdot \varphi^\prime(x))。由不完全归纳法得出复合函数的求导法则：复合函数(y = f(\varphi(x)))的导数为(y^\prime = f^\prime(u) \cdot \varphi^\prime(x))。其中(y)对(x)的导数，记作(y^\prime_x)。用文字描述这个求导法则就是：复合函数的因变量对自变量的导数等于因变量对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。