师：同学们，大家好。本节课我们来学习北京师范大学出版社数学选修1 - 2第三章第三节第一课时——综合法。在上课之前，我们先明确本节课的学习目标。一是结合已学数学实例，了解直接证明的基本方法之一综合法，以及综合法的思考过程与特点；二是通过用综合法证明数学命题，锻炼大家应用符号语言清晰表达数学思维的能力，同时在转化条件的过程中完善思维，提升优化意识。
为达到这些目标，我们开始本节课的学习。在学习新课之前，我们先来回顾上一节课的内容。上节课我们学习了数学证明，它是一种演绎推理，具有三段论的形式。同学们，还记得三段论的具体内容吗？首先是大前提，其次是小前提，最后是结论。那它们分别指什么呢？大前提指的是一般性原理，比如定义、定理、公理等；小前提指的是研究对象的特殊情况；结论就是由大前提和小前提共同作用得出的结果。
同学们，能用三段论的形式来解决具体问题吗？来看这两个题目。例题一，求证π是函数(f(x)=\sin(2x + \frac{\pi}{4}))的一个周期。例题二，已知点(P)是直角三角形(ABC)所在平面外一点，(O)是斜边(AB)的中点，且(PA = PB = PC)，求证(PO)垂直于平面(ABC)。大家思考这两个题目该怎么证明。
先看例题一，要证明π是函数的一个周期，已知条件是(f(x))的解析式，要证明的结论是π是它的一个周期。那只要推导出它满足函数周期的定义就可以了。所以从(f(x + \pi))出发，代入整理，再利用诱导公式，得到的结果就是(f(x))。这样，根据函数周期的定义，就可知π是函数的一个周期，结论得证。
再看第二个题目，这是一个立体几何题，要证明(PO)垂直于平面(ABC)。怎么证明线面垂直呢？可以证明(PO)垂直于平面(ABC)内的两条相交直线。能转化得到这个结论吗？来看，如图，连接(OC)，因为(AB)是直角三角形(ABC)的斜边，(O)是(AB)的中点，所以(OA = OB = OC)。又因为(PA = PB = PC)，由此可以转化得到(PO)垂直于(AB)，并且三角形(POA)与三角形(POC)全等。所以(\angle POA = \angle POC = 90^{\circ})，这样就得到两个垂直关系，(PO)垂直于(AB)，(PO)又垂直于(OC)。而(AB)和(OC)相交于点(O)，且它们都在平面(ABC)内，所以可以得出结论：(PO)垂直于平面(ABC)。
同学们，这两个题目，一个是三角函数题，一个是立体几何题，它们在证明过程中形式上有什么共同特征呢？首先，它们都是从已知条件出发，前面题目中的函数解析式、后面题目中的几何条件等，在各自题目里都是已知条件。然后，前面利用函数周期的定义，后面利用线面垂直的判定定理，这些定义定理都属于三段论中的大前提，而题目中的已知条件在三段论中处于小前提的位置，也就是特殊情况，最后得到的就是要证明的结论。同学们，能不能自己组织语言，把这样的证明过程表述出来呢？
其实，它们都是从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步接近要证明的结论，直到完成命题的证明。我们把这种思维方法叫做综合法，这就是今天所学综合法的定义，即从条件出发，通过各种定理等的运用得到所要求证的结论。那这种证明方法的思维过程有什么特点呢？
从过程上看，它是从已知看可知，逐步推向未知，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件。从转化上看，如果证明命题“若(a)，则(d)”，条件(a)作为已知条件，它的必要条件往往不止一个，用(B_1)、(B_2)等来表示。在进一步转化过程中，它们又会产生不同分支，这时就需要对各个必要条件进行甄别、选择甚至优化，确保逐步接近要证明的结论。从形式上看，用综合法证明命题，证明步骤严谨、逐层递进、步步为营、条理清晰、形式简洁，易于表达推理的思维轨迹。
学习了综合法的定义和思维特点，能不能用它来解决具体问题呢？我们来看两个问题。第一，已知(x_1)和(x_2)是一元二次方程(Ax^2 + Bx + C = 0)（(A\neq0)，(B^2 - 4AC\geq0)）的两个实根，求证(x_1 + x_2 = -\frac{B}{A})，(x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A})。大家都看出来了，这就是初中所学的韦达定理。在这里能不能用综合法证明呢？
我们一起来做一下。综合法从已知条件入手，已知(x_1)、(x_2)是方程的两个根，我们可以用求根公式求出(x_1)和(x_2)的表达式，这样(x_1 + x_2)和(x_1 \cdot x_2)就很容易得出，从而得到结论，完成命题的证明，也就是从条件出发，通过定义、定理、公式等转化得到要证明的结论。
再看一个题目。已知(x)、(y)、(z)是互不相等的实数，且(x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x})，求证(x^2y^2z^2 = 1)。大家思考一下怎么转化条件接近结论。