师：欢迎来到数学课堂，今天我们学习第三章第一节“导数与函数的单调性”。首先确定本节课学习目标：理解导函数符号与函数单调性的关系，会利用导数判断函数单调性并求函数单调区间。在开始新课前，我们先回顾与函数有关的知识。第一个问题，判断函数单调性的常见方法有哪些？大家回顾一下之前学过的内容。
生：判断函数单调性常见方法有两种，一是定义法，二是图像法。定义法从定量角度给出函数单调性定义，图像法能借助函数图像直观发现函数单调性。
师：非常好。第二个问题，函数(f(x))在(x_0)处导数的几何意义是什么？
生：由上一章知识可知，其几何意义是函数(f(x))在(x_0)处切线的斜率，函数导数刻画的是函数在(x_0)处的瞬时变化率，函数单调性刻画函数值随自变量(x)的变化情况，它们都刻画了函数的变化性。
师：没错，那函数的单调性与导数之间有什么关系呢？今天我们就一起来探究。首先请同学们思考函数(y = 2x - 1)和函数(y = -3x)，它们导数的正负与单调性之间的关系，大家可以动手计算一下。
生：通过计算发现，第一个函数的导数等于(2)大于(0)，函数(y = 2x - 1)是增函数；第二个函数导数等于(-3)小于(0)，函数(y = -3x)是减函数。而且这两个函数都是一次函数，它们的导数与表示直线的斜率相等。
师：从图像上直观来看，当斜率大于(0)时，直线表示的函数单调递增；当斜率小于(0)时，直线表示的函数单调递减，而一次函数导数的值与直线斜率相等。由此我们可以得出，当导数大于(0)时，函数是增函数；当导数小于(0)时，函数是减函数。这时我们大胆猜想，对于函数(y = f(x))在某区间((a,b))内，如果恒有导数大于(0)，函数(y = f(x))在((a,b))内单调递增；如果恒有导数小于(0)，函数(y = f(x))在((a,b))内单调递减。通过刚才分析知道一次函数满足这个猜想，那其他函数呢？我们来思考熟悉的函数(y = x^2)，它的导数与其单调性之间有怎样的关系？
生：(y = x^2)的图像是抛物线。观察图像可知，当(x \lt 0)时，函数单调递减；当(x \gt 0)时，函数单调递增。根据导数几何意义，导数表示切线斜率，我们通过图像在曲线上任取点画切线观察斜率取值，进而得到导数取值情况。当(x \lt 0)时，曲线上任意点的切线倾斜角均为钝角，切线斜率小于(0)，即函数导数小于(0)，所以当(x \in (-\infty, 0))时，函数在((-\infty, 0))上单调递减。同样，当(x \gt 0)时，曲线上任意点的切线倾斜角均为锐角，切线斜率大于(0)，即函数导数大于(0)，所以当(x \in (0, +\infty))时，函数在((0, +\infty))上单调递增。从(y = x^2)的导数和单调性也能发现，当导数小于(0)时，函数单调递减；当导数大于(0)时，函数单调递增。
师：很好。下面我们再来观察指数函数与对数函数的导数和其单调性之间的关系。对于指数函数(y = 2^x)，其图像在定义域内单调递增，它导数的取值情况如何呢？大家仿照刚才的过程探讨一下。
生：在曲线上任意点做出曲线的切线，从图像上看到切线倾斜角均为锐角，切线斜率均大于(0)，而切线斜率就是函数导数的值，所以在定义域内导数大于(0)，函数单调递增。对于函数(y = (\frac{1}{2})^x)，通过图像发现函数单调递减，在曲线上任一点做切线，切线斜率均小于(0)，导数也小于(0)，所以函数在定义域内单调递减。
师：通过对指数函数的分析，我们又发现当导数大于(0)时，函数单调递增；当导数小于(0)时，函数单调递减。那对数函数是否也有这样的关系呢？同学们仿照刚才探究过程，看看对数函数导数与单调性的关系。
生：对于以(3)为底的对数函数，它单调递增，在函数图像上任一点做出曲线的切线，从图像上直观发现切线斜率均大于(0)，所以在其定义域内导函数值大于(0)，函数在定义域内单调递增。对于以(0.5)为底的对数函数，从图像直观发现函数单调递减，在图像上任一点做出曲线切线，发现切线斜率均小于(0)，所以在定义域内函数导数小于(0)，函数在定义域上单调递减。对数函数也满足刚才猜想的结论。
师：通过对以上实例探究，我们发现导函数符号与函数单调性之间有一定关系，可以总结如下：如果在某个区间内，函数(y = f(x))的导数大于(0)，则在这个区间上函数(y = f(x))是递增的；如果在某个区间内，函数(y = f(x))的导数小于(0)，则在这个区间上函数是递减的。通过熟悉的函数，我们抽象概括出这两个结论。下面请同学们思考一个问题，如果在某个区间内函数(y = f(x))的导数恒等于(0)，则在这个区间上函数的单调性如何？
生：由上节课知识可知，导数恒为(0)时，这个函数为常函数，常函数不具有单调性。
师：有了导数与函数单调性的关系，下面看一个例题。例一，求函数(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 16)的单调递增区间和递减区间。由刚才讨论知道，在区间(I)内，如果导数大于(0)，函数单调递增；如果导数小于(0)，函数单调递减。要求函数单调区间，就分析它导函数的取值情况。大家看具体解题步骤，首先函数定义域是全体实数。第二步，正确求出函数导数。然后由导数大于(0)可求得(x \lt -2)或(x \gt 3)，由导数小于(0)可求得(-2 \lt x \lt 3)。根据导数正负与函数单调性的关系，得出函数(f(x))的单调递增区间为((-\infty, -2))和((3, +\infty))，单调递减区间为(( -2, 3))。例一解题过程给出了求函数单调区间的一般步骤：第一步确定函数定义域，因为研究函数性质要在定义域范围内；第二步正确求出函数导函数；第三步由导数大于(0)和导数小于(0)求出相应(x)的取值范围；第四步确定函数单调区间。我们知道函数单调性决定函数大致图像，像例一，探究出函数单调区间后，再描上一些特殊点，比如单调区间端点处的函数值情况，就能画出函数大致图像，通过图像更直观发现函数性质，这也是探究导数与函数单调性的作用，是研究函数性质的一般过程。首先发现函数单调性，由单调性画出函数大致图像，借助图像更直观发现函数性质或解决问题。说到函数图像，希望同学们学会借助函数图像解决与函数有关的问题。接下来看例二，设函数(f(x))的图像如图所示，则导函数(f^\prime(x))的图像可能为下面(4)个选项中的哪一个呢？根据刚才所讲，导函数正负与函数单调性有一定关系，这题要求从函数图像发现函数单调性和取值情况。