师：同学们，大家好。今天我们一起来学习函数的极值第一课时。首先，我们一起回顾一下导数的有关知识。
一、常见函数的导数公式：
常数的导数等于0；(x^n)的导数等于(n\times x^{n - 1})；(e^x)的导数等于(e^x)；(a^x)的导数等于(a^x\times\ln a)；(\log x)（这里应该是(\ln x)）的导数等于(\frac{1}{x})；以(a)为底(x)对数的导数等于(\frac{1}{x}\times\log_a e)或者等于(\frac{1}{x\log_a})。(\sin x)导数等于(\cos x)，(\cos x)导数等于(-\sin x)。
二、导数的四则运算公式：
加减法：((u + v)')等于(u') + (v')，((u - v)')等于(u') - (v')；
乘法：((u\times v)')等于(u'\times v + u\times v')；
除法：((\frac{u}{v})')等于(\frac{u'\times v - u\times v'}{v^2})（注意(v\neq0)）。
三、复合函数求导：(y)关于(x)的导数，等于(y)关于中间变量(u)的导数乘以(u)关于(x)的导数。
四、函数导数与函数单调性的关系：
设函数(y = f(x))在某个区间(I)内有导数。若在区间(I)内导数值大于(0)，那么函数(y = f(x))在这个区间内为增函数；若在区间(I)内导数值小于(0)，那么函数(y = f(x))在这个区间内为减函数。
五、用导数求函数单调性的步骤：
写出函数的定义域，并求函数(y = f(x))的导数。
令导数值大于(0)，解不等式得到(x)的范围，就是函数的递增区间。
令导数值小于(0)，解不等式得到(x)的范围，就是函数的递减区间。
同学们，苏轼在《题西林壁》中写道：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”这首诗描述了庐山峰峦叠嶂，延绵雄伟。在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但却是其附近的最高点。在数学上，这种现象如何刻画呢？我们一起看两个函数的图像，思考以下问题：观察函数(y = f(x))图像在区间((a,b))上，函数值(f(x_0))是最大值吗？函数值(f(x_0))在定义域内还是最大吗？对于函数(y = f(x))在区间((a,x_0))到((x_0,b))上，其单调性与导数的符号有何特点呢？
不知道大家得到的结果是不是和我的一样呢？第一个，(f(x_0))在((a,b))上是最大值；第二个，它在整个定义域内不是最大值，因为右边还有比它更大的函数值；第三，函数(f(x))在区间((a,x_0))上是递增的，导数大于(0)；在区间((x_0,b))上是递减的，导数小于(0)。根据以上对函数(y = f(x))的分析，请分析函数(y = g(x))在区间((a,b))上的最值情况。
我们可以看到函数(y = g(x))，在区间((a,b))上(g(x_0))是最小值，(g(x))在区间((a,x_0))是递减的，导数小于(0)；在区间((x_0,b))上是递增的，导数大于(0)。满足这些条件的函数的性质就是我们这节课要学习的极值。
好，我们来看第一个定义，极大值：在包含(x_0)的一个区间((a,b))内，函数(y = f(x))在任何一点的函数值都小于或等于(x_0)点的函数值，称点(x_0)为函数(y = f(x))的极大值点，其函数值(f(x_0))为函数的极大值。大家想一想我们学过的开口向下的二次函数，取包含顶点的一个区间((a,b))，观察图像，我们可以看到在((a,d))这个区间内的所有值都小于或等于顶点的函数值，这时候顶点的横坐标就叫做函数的极值点，顶点的纵坐标就叫做函数的极值。
第二，极小值点：在包含(x_0)的一个区间((a,b))内，函数(y = f(x))在任何一点的函数值都大于或等于(x_0)点的函数值，称点(x_0)为函数(y = f(x))的极小值点，其函数值(f(x_0))为函数的极小值。同样道理，观察开口向上的二次函数，取包含顶点的一个区间((a,b))，观察图像，在这个区间上，所有点的函数值都大于或等于顶点的函数值，我们称顶点的横坐标为极小值点，顶点的函数值为极小值。
极值、极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值是函数值。在这个定义中，我们要注意下面几个问题：
第一，函数的极值概念是一个局部性质，它只是指在它附近的函数值是比较大还是比较小，并非指整个定义域内。
第二，函数的极值并不是唯一的，大家看图像，(x_1)、(x_3)、(x_5)都是函数的极大值点，(x_2)、(x_4)都是函数的极小值点。
第三，极大值和极小值之间无确定性关系，比如极大值(f(x_1))，极小值(f(x_4))，极大值比极小值还要小。
第四，函数的极值点一定要在区间内部取得，不能在端点取得，因为在定义中任何一个极值都是包含在区间内的，要求在这个点的左右两边都有图像。
好，学习了函数的极值的定义，我们再来看一看函数的单调性与极值的关系。如果函数(y = f(x))在区间((a,x_0))上是递增的，在区间((x_0,b))上是递减的，那么(x_0)是极大值点，(f(x_0))是极大值。我们来看这个图像，(x_0)的左边递增，所有值都小于(x_0)的值，右边递减，所有值也都小于(x_0)的值，(x_0)点的值正好等于它的函数值。为了研究问题方便，我们一般用一个表格来表示，这个表格很清晰地反映出(x_0)左右两边区间内导函数的符号及原函数的单调性，此时左边递增，右边递减，函数取得极大值。同理，如果函数(y = f(x))在区间((a,x_0))上递减，在区间((x_0,b))上递增，则(x_0)是极小值点，(f(x_0))是极小值。我们也可以用表格清晰地展现出(x_0)左右两边区间、导数值以及函数单调性的关系，(x_0)左边递减，右边递增，(x_0)取得极小值。