师：同学们，大家好，我们又见面了。今天我们一起来学习函数的极值第二课时。首先，我们回顾一下上节课所学知识。
一、函数的极值和极值点
极大值：在包含(x)的一个区间((a,b))内，若函数(y = f(x))在任何一点的函数值都小于或等于(x_0)点的函数值，那么称点(x_0)为函数(y = f(x))的极大值点，其函数值(f(x_0))为函数的极大值。
极小值：在包含(x)的一个区间((a,b))内，若函数(y = f(x))在任何一点的函数值都大于或等于(x_0)点的函数值，那么称点(x_0)为函数(y = f(x))的极小值点，其函数值(f(x_0))为函数的极小值。
极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。需注意，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，即图像中点的横坐标；极值指的是函数值，即图像中点的纵坐标。
二、函数的单调性与极值
若函数(y = f(x))在区间((a,x_0))上单调递增，在区间((x_0,b))上单调递减，则(x_0)是极大值点，(f(x_0))是极大值；若函数(y = f(x))在区间((a,x_0))上单调递减，在区间((x_0,b))上单调递增，则(x_0)是极小值点，(f(x_0))是极小值。
复习完前面所学函数的极值及极值点的概念，以及函数的单调性与极值的关系后，我们现在利用这些性质来解决函数相关问题。
例一：求函数(f(x)=2x^3 - 3x^2 - 36x + 5)的极值点。
师：同学们，这是一个三次函数，函数的定义域是全体实数。相信大家都能很快求出函数(f(x))的导数(f^\prime(x)=6x^2 - 6x - 36)。通过因式分解可得(f^\prime(x)=6(x + 2)(x - 3))。根据前面所学，导函数等于(0)是函数取得极值点的必要非充分条件，所以我们先求导数值等于(0)的点。解方程(f^\prime(x)=0)，可得(x_1 = - 2)和(x_2 = 3)。那如何验证(x_1 = - 2)，(x_2 = 3)到底是函数的极大值点、极小值点，还是不是极值点呢？为方便研究，我们列出如下表格，通过表格直观反映判断过程。
(-2)和(3)把定义域分成了三部分。第一行，我们写出横坐标被分成的三个区间：((-\infty,-2))、(( - 2,3))和((3,+\infty))。因为导函数是一个开口向上的二次函数，所以能很容易判断出第二行导函数在这三个区间内的符号：在(( - 2,3))之间，导函数是负数；在((-\infty,-2))和((3,+\infty))上，导函数是正数。根据导函数的符号确定函数单调性的特点，可求出第三行函数在三个区间内的单调性：原函数在((-\infty,-2))单调递增，在(( - 2,3))上单调递减，在((3,+\infty))上单调递增。最后根据函数极值的定义，可得(-2)是函数的极大值点，(3)是函数的极小值点。
通过这个例题，我们一起总结一下利用函数的导数求函数极值的步骤：
第一步，先求函数的定义域，再求出函数的导数。
第二步，解关于导函数等于(0)的方程。
第三步，为方便研究，列一个表格。表格第一行，用导函数等于(0)的解把定义域分成若干个小区间；第二行，在每个小区间内，利用导函数的性质判断其在每个区间内的符号；第三行，通过导函数在每个区间内的符号判断原函数在每个区间内的单调性。然后根据表格得出结论：如果导函数在(x_0)的两侧符号左正右负，则(x_0)为极大值点，(f(x_0))取得极大值；如果(f(x))导函数在(x_0)两侧的符号左负右正，则(x_0)为极小值点，(f(x_0))取得极小值；如果导函数在(x_0)两侧的符号相同，则(x_0)不是极值点，(f(x_0))不是极值。
第四步，写出函数的极值结论。
利用总结的步骤，我们一起来处理下面的练习。
例二：求函数(f(x)=x^2e^{-x})的极值。
师：我们来看这个题目，按照刚才的步骤，定义域是全体实数(R)，(f(x))的导数(f^\prime(x)=-\frac{x^2 - x}{e^x})。第二步，解方程，因为分母不为(0)，所以解得(x = 0)或(x = 2)。第三步，列出表格。第一行，(0)和(2)把区间分成((-\infty,0))、((0,2))、((2,+\infty))三部分。第二行判断导函数符号，大家注意，导函数分母(e^x)是恒正数，所以只需判断(-(x^2 - x))在每个区间内的符号。而(-(x^2 - x))是熟悉的二次函数，开口向下，在((0,2))之间，函数值是正的，在((-\infty,0))和((2,+\infty))，导函数值是负的。当第二行判断好后，很快可写出第三行：导函数值小于(0)，原函数单调递减；导函数值大于(0)，原函数单调递增。所以(x = 0)是极小值点，(x = 2)是极大值点。(x = 0)是极小值点，把(0)代入原函数，算出(f(0)=0)；(x = 2)是极大值点，把(2)代入原函数，算出极大值是(\frac{4}{e^2})。
师：我们再来看第三个例题。
例三：已知函数(f(x)=ax^3 + bx^2 - 3x)在(x = \pm1)处取得极值，一试确定常数(a)、(b)的值，并讨论(f(1))和(f( - 1))是函数的极大值还是极小值。
师：这一题已知条件中含有两个参数，大家要特别小心。按照常规步骤，第一步先确定定义域并求导，定义域是全体实数(R)，求导后(f^\prime(x)=3ax^2 + 2bx - 3)。题目告知在(x = \pm1)处取得极值，根据导数取得极值的必要不充分条件，可知(x = \pm1)时导数值为(0)。把(x = 1)和(x = - 1)代入导函数，联立关于(a)、(b)的二元一次方程，可轻松解得(a = 1)，(b = 0)。那么(a = 1)，(b = 0)后，(x = 1)和(x = - 1)到底是极大值点还是极小值点呢？带回原函数可得(f(x)=x^3 - 3x)。下面用刚才讲的步骤重新判断(x = 1)和(x = - 1)到底是极大值点还是极小值点，也就是判断(f(1))和(f( - 1))是极大值还是极小值。到这一步后，大家都知道后面需要列出表格，(-1)和(1)把定义域分成三部分。导函数是开口向上的二次函数，可很快判断出它在每个区间内导函数的符号，进而判断出原函数的单调性。由此可知，(x = - 1)时是极大值点，(f( - 1))是极大值；(x = 1)时是极小值点，(f(1))是极小值。