师：同学们好，今天这节课我们来学习条件、概率与独立事件。首先，我们复习一下在必修三中学习过的古典概型相关知识。古典概型的特征有两点：一是试验的所有可能结果，即基本事件只有有限个，每次试验只出现其中一个结果；二是每一个结果出现的可能性相同。满足这两个特征的随机试验数学模型称为古典概型。古典概型的概率计算公式为：事件(A)发生的概率等于事件(A)包含的可能结果数(m)除以试验的所有可能结果数(n)。
下面我们来看探究：一百件产品中有(93)件产品长度合格，(90)件产品质量合格，(85)件产品长度、质量都合格。现在任取一件产品，若已知它的质量合格，那么它的长度合格的概率是多少？
设事件(A)为产品长度合格，事件(B)为产品质量合格，那么事件(A)、(B)同时发生为产品长度、质量都合格。根据古典概型的概率计算公式，任取一件产品已知它质量合格，即(B)发生，则它长度合格，即(A)发生的概率是(\frac{85}{90})。
问题一：这个概率(\frac{85}{90})与事件(A)及(B)发生的概率有什么关系呢？根据古典概型概率计算公式，事件(A)发生的概率等于(\frac{93}{100})，事件(B)发生的概率等于(\frac{90}{100})，事件(A)、(B)同时发生的概率等于(\frac{85}{100})。事件(B)发生的前提下，(A)发生的概率(\frac{85}{90})，分子分母同除以(100)，等于事件(A)、(B)同时发生的概率除以事件(B)发生的概率。实际上，这个例子是求(B)发生的条件下，(A)发生的概率，称为(B)发生时(A)发生的条件概率。
一、条件概率的定义：已知(B)发生的条件下，(A)发生的概率称为(B)发生时(A)发生的条件概率，用符号(P(A|B))来标记，读作事件(B)发生的条件下，(A)发生的概率。
二、条件概率的计算公式：当事件(B)发生的概率大于(0)时，由上面的例子可知，事件(B)发生的条件下，(A)发生的概率(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)})，其中事件(A)、(B)同时发生也可以用符号(AB)来表示。同理，当事件(A)发生的概率大于(0)时，事件(A)发生的条件下，(B)发生的概率(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)})。
问题二：你能尝试说出事件(B)发生的条件下，(A)发生的概率与事件(A)、(B)同时发生的概率的区别与联系吗？
我们先来看联系：两者都涉及事件(A)、(B)都发生。
再看区别：一、事件(A)、(B)发生有时间上的差异。在事件(B)发生的条件下，(A)发生的概率中，(B)先(A)后；而在事件(A)、(B)同时发生的概率中，事件(A)、(B)同时发生。二、样本空间不同，在事件(B)发生的条件下，(A)发生的概率中，事件(B)成为样本空间；在事件(A)和(B)同时发生的概率中，样本空间为所有事件的总和。
下面我们来看例一：甲乙两城市都位于长江下游。根据(100)多年的气象记录知道，甲乙两市一年中雨天占的比例分别为(20%)和(18%)，两地同时下雨的比例为(12%)。当乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率是多少？
设事件(A)为甲市为雨天，事件(B)为乙市为雨天，则有事件(A)发生的概率(P(A)=0.2)，事件(B)发生的概率(P(B)=0.18)，事件(A)、(B)同时发生的概率(P(AB)=0.12)。所以事件(B)发生的条件下，(A)发生的概率(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0.12}{0.18}=\frac{2}{3})。
下面我们来看探究：从一副扑克牌（去掉大小王共(52)张）中随机抽取一张，用(A)表示取出的牌是圈，用(B)表示取出的牌是红桃。是否可以利用事件(B)发生的概率及事件(A)、(B)同时发生的概率计算事件(B)发生的条件下(A)发生的概率？
我们知道剩下的(52)张牌中有(13)张红桃，根据古典概型的概率计算公式，则事件(B)发生的概率(P(B)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4})。(52)张牌中红桃圈只有一张，则事件(A)、(B)同时发生的概率(P(AB)=\frac{1}{52})。所以事件(B)发生的条件下，(A)发生的概率(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{52}}{\frac{13}{52}}=\frac{1}{13})。
问题三：你能求出事件(A)发生的概率吗？观察结果，你发现了什么？
我们知道(52)张牌中有(4)个圈，则事件(A)发生的概率(P(A)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13})。我们发现事件(A)发生的概率和事件(B)发生的条件下(A)发生的概率都等于(\frac{1}{13})，它们相等。所以事件(B)的发生不影响事件(A)的概率。
当事件(B)发生的概率大于(0)的时候，事件(B)的发生不影响事件(A)的概率，那么此时有事件(B)发生的条件下，(A)发生的概率等于事件(A)发生的概率。由事件(B)发生的条件下，(A)发生的概率(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)})，我们可以得到(P(A)=\frac{P(AB)}{P(B)})，进而不难得到事件(A)、(B)同时发生的概率(P(AB)=P(A)×P(B))，那么事件(A)、(B)相互独立。