师：同学们好，上节课我们学习了条件概率与独立事件，今天我们来学习独立性检验。大家知道，每年5月31日是世界无烟日，许多疾病都与吸烟有关，吸烟具有危害性，为什么人们都认可这一观点呢？它的依据又是什么呢？2019年世界无烟日的主题为“烟草和肺部健康”。我们今天就从吸烟与患肺癌是否有联系这个问题出发，一起探究独立性检验问题。
首先来看问题一，我们在研究吸烟与患肺癌是否有联系时，应从调查统计数据开始做起，需要用到怎样的数据呢？我们需要调查吸烟人群中患肺癌与未患肺癌的人数，以及不吸烟人群中患肺癌与未患肺癌的人数。某机构为了调查吸烟与患肺癌是否有联系，随机调查了6578人，得到了下表中的数据。
问题二，观察该表，它在结构上有什么样的特点？
由表可知，吸烟人群中患肺癌与未患肺癌的人数分别为56和1932，不吸烟人群中患肺癌与未患肺癌的人数分别为23和4567。这四个数据构成了表中的两行两列，通过这四个数据还可以得到被调查者中吸烟、不吸烟、患肺癌、未患肺癌的总人数，所以这四个数据是表中的核心数据。我们把这个表叫做二行二列联表，表中有两个变量：是否吸烟、是否患肺癌。每个变量有两个取值，即吸烟、不吸烟和患肺癌、未患肺癌。我们把这样的变量称为分类变量，变量的不同值表示个体所属的不同类别，比如说性别、是否吸烟、是否患肺癌、宗教信仰、国籍等都是分类变量。
问题三，如何根据表格中的数据来判断吸烟和患肺癌是否独立？这一问题称为r乘r列联表的独立性检验。为此，我们引入以下记号。变量A有两个值，A1是吸烟，A2是不吸烟；对于变量B，它也有两个值，B1是患肺癌，B2是未患肺癌。根据上面的表可以计算出吸烟与不吸烟的总人数分别是1988和4590，患肺癌和未患肺癌的总人数分别是79和6499，调查总人数为6578。同时我们得到一个新的表。
问题三，我们根据表中给出的数据该如何判断吸烟与患肺癌是否独立？我们假设吸烟与患肺癌是独立的，即吸烟不影响患肺癌。根据直观经验，我们把吸烟人群中患肺癌的人所占的百分比与不吸烟人群中患肺癌的人所占的百分比作比较。如果吸烟不影响患肺癌，就意味着无论吸烟与否，患肺癌的人所占的百分比应该基本一样。那我们要计算吸烟人群与不吸烟人群中患肺癌的人所占的百分比，大家能计算出来吗？
生：吸烟人群中患肺癌的人所占的百分比是56÷1988，约等于2.82%；不吸烟人群中患肺癌的人所占的百分比是23÷4590，约等于0.5%。
问题五，我们比较这两个数据，2.82%和0.5%，能得出什么结论？
师：我们用的是样本估计总体。即使吸烟与患肺癌独立，我们得到的这两个数据也不一定完全一样，但是在这个问题中，吸烟人群患肺癌的发病率约为不吸烟人群中肺癌发病率的5.64倍，相差很大，说明患肺癌与吸烟有关。吸烟人群中患肺癌的人所占的百分比较多，可以认为吸烟会对肺癌的发病率造成一定的影响。
问题六，你能利用事件独立性的定义说明患肺癌与吸烟有关吗？假设吸烟与患肺癌是独立的，那么根据事件独立性的定义，我们有下面四个等式成立：A1、B1发生的概率等于A1的概率乘以B1的概率；A1、B2同时发生的概率等于A1发生的概率乘以B2发生的概率；A2、B1同时发生的概率等于A2发生的概率乘以B1发生的概率；A2、B2同时发生的概率等于A2发生的概率乘以B2发生的概率。
我们讨论A1、B1同时发生的概率等于A1发生的概率乘以B1发生概率的这种情形。我们可以列出频率表，并用既吸烟又患肺癌的人的频率来估计A1B1发生的概率，用吸烟的人的频率来估计A1发生的概率，用患肺癌的人的频率来估计B1发生的概率。吸烟的人的频率为1988÷6578，约等于30.22%；患肺癌的人的频率为79÷6578，约等于1.2%；既吸烟又患肺癌的人的频率为56÷6578，约等于0.85%。30.22%乘以1.2%等于0.36%，不等于0.85%。
问题七，根据计算结果，0.36%不等于0.85%，能得到怎样的结论？
师：由于根据表中的数据计算出的值是频率值，只是概率的估计值。因此，即使变量之间独立，这两个数一般也不一定恰好相等，但是当两边相差很大的时候就可以得出变量之间不独立。在本问题中，两边相差很大，可以估计A1、B1同时发生的概率不等于A1发生的概率乘以B1发生的概率，也就是说A1和B1不独立。结论就是患肺癌与吸烟有关，这也是我们课前讲的吸烟具有危害性，为什么人们都一致认可的原因。