师：同学们好，今天我们来学习第一章推理证明的复习课。首先，我们一起回顾本章的知识框图。推理证明分为推理和证明两大模块。推理包含合情推理与演绎推理，合情推理又包括归纳推理和类比推理。常见的证明方法有直接证明、间接证明和数学归纳法。直接证明有综合法和分析法，间接证明常见的是反证法。
我们先来看合情推理。大家回顾一下归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有的某种属性，推断该类事物中每一事物都有这种属性，这种推理方式就是归纳推理。它是由部分到整体、由个别到一般的推理。不过要注意，利用归纳推理得出的结论不一定正确。
我们通过一个例题来巩固归纳推理的知识。观察下列不等式：(1 + \frac{1}{2^2} < \frac{3}{2})，(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} < \frac{5}{3})，(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} < \frac{7}{4})。照此规律，第五个不等式该如何表示呢？
第一个式子是(1 + \frac{1}{2^2} < \frac{3}{2})，第二个式子是(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} < \frac{5}{3})，第三个式子加到(\frac{1}{4^2})，小于(\frac{7}{4})。按照这个规律，我们可以发现，式子左边是从(1)开始，依次加上(\frac{1}{2^2})，(\frac{1}{3^2})，(\frac{1}{4^2})，(\cdots)，(\frac{1}{(n + 1)^2})；右边的分子是(2n + 1)，分母是(n + 1)。所以第(n)个式子应该是(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{(n + 1)^2} < \frac{2n + 1}{n + 1})。
那么第五个不等式，(n = 5)时，就是(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} < \frac{2×5 + 1}{5 + 1})，即(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} < \frac{11}{6})。
一般来说，归纳推理的发现过程以观察和实验为基础，其一般步骤是由具体问题通过实验观察，经过经验归纳形成结论猜想。
接下来，类比推理是如何定义的呢？由于两类不同对象具有某些类似特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理称为类比推理。它是两类事物特征之间的推理。同样要注意，类比推理得出的结论也不一定正确。
我们通过一个例题来看：正三角形的内切圆切于三边的中点，类比地猜出正四面体的内切球切于四个面各正三角形的位置在哪里呢？这里有正三角形的内切圆切于三边中点，要类比正四面体的内切球切于四个面各正三角形的位置。空间问题可类比到平面中，正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心。所以答案是正四面体的内切球切于四个面各正三角形的中心。本题是将平面图形向空间图形的一次类比，有些试题还需要把空间几何向平面几何转化。我们要善于相互转化，让知识成为有机整体。
第二大模块是演绎推理，我们先回顾综合法。从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，逐步接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法就是综合法。
我们来看这个例题：假设(a)、(b)都是正数，(a + b = 1)，求证(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} \geq 8)。
由条件(a > 0)，(b > 0)，(a + b = 1)。因为(a + b \geq 2\sqrt{ab})，所以(1 \geq 2\sqrt{ab})，两边平方可得(ab \leq \frac{1}{4})，那么(\frac{1}{ab} \geq 4)。
要使(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} \geq 8)成立，若(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4)，问题就能解决。对(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})进行变形，因为(a + b = 1)，所以(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 1 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 1 = 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b})。
由于(a)、(b)都是正数，根据基本不等式(\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{a}{b}} = 2)，所以(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2 + 2 = 4)。
第一步等号成立的条件是(a = b)，第二步等号成立的条件也是(a = b)。所以综上，当且仅当(a = b = \frac{1}{2})时，(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} \geq 8)成立。
这就是由因导果的综合法。同学们思考一下，能用分析法来解决这个问题吗？
分析法是从求证的结论出发，逐步探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等。这种思维方式称为分析法。分析法适用于条件和结论之间联系不够明显直接，或证明过程中所用知识不太明确具体的情况。
如果用(q)表示证明的结论，分析法的思维过程可用如下框图表示：要想(q)成立，需要保证(p_1)成立；要保证(p_1)成立，需要保证(p_2)成立；要保证(p_2)成立，需要保证(p_3)成立，以此类推，直到找到一个明显成立的条件。所以分析法是在寻找使问题成立的条件。
我们用分析法来解决刚才的问题。因为(a > 0)，(b > 0)，(a + b = 1)，要证(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} \geq 8)，只要证(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{a + b}{ab} \geq 8)，即证(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a} \geq 8)，也就是证(2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 8)，两边同时除以(2)，即证(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4)。