师：同学们，大家好。上节课我们学习了综合法证明，大家对综合法证明的思维特点以及书写特点都熟悉了吧？不过，很多数学命题的证明，很难从条件直接推出结论，还需要从结果进行分析。
比如，看这道题：已知如图，PI 垂直于平面 ICB，IC 垂直 BC，D 为 PC 上一点，要证明 BC 垂直 AD 。我们该怎么思考呢？要证 BC 垂直 AD ，这是一组异面垂直关系。我们可以考虑其中一条直线能否垂直另一条直线所在的平面。所以，只需要证明 BC 垂直平面 PIC 。因为若 BC 垂直平面 PIC ，根据线面垂直的性质定理就能得到 BC 垂直 AD 。那么，怎样证明 BC 垂直平面 PIC 呢？可以看到 BC 垂直 AC ，所以我们只需证明 BC 垂直 PI ，而 PI 和 IC 交于 I 点，这样利用线面垂直的判定定理就可以证得 BC 垂直平面 PIC 。
BC 能垂直 PI 吗？从已知条件中发现，PI 垂直平面 ABC 。既然有这个线面垂直，可知 PI 垂直 BC 一定成立。思路分析完了，就可以书写证明过程了。我们用综合法的形式呈现：因为 PI 垂直于平面 ABC ，所以 PI 垂直 BC 。又因为 BC 垂直 AC ，PI 和 IC 交于 I 点，所以 BC 垂直平面 PAC 。进而，AD 在平面 PAC 内，得到 BC 垂直 AD 。
同学们能感受到我们分析这道题以及用综合法证明时的思维特点吗？我找个同学来回答一下，分析过程和综合法证明过程有什么区别？
生：分析的时候是从要证的结果出发找条件，而综合法是从条件出发，一步一步推到结果。
师：非常好。实际上，我们这个分析的过程也可以抽象成一种证明方法，就是我们这节课要学习的分析法。一般来说，从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件，比如已知条件、定义、定理、公理等，这种证明方法就叫做分析法。
分析法的思维过程及特点可以这样表示：是逐步寻求它的充分条件的过程。表述形式为：要证命题 q 成立，我们只需要证明命题 P1 成立；要证命题 P1 成立，只需证明命题 P2 成立……依次往前，逐步找充分条件，直到只需证明命题 p 成立，而命题 p 已经成立，比如它是已知条件，或者是定义、公理、定理等，这样就完成了严格的逻辑证明。大家理解这种证明方式了吗？我们来看一个例题。
已知 a、b 是不相等的正数，求证(a3 + b3＞a2b + ab2)。如果用综合法，从左边往右边通过放缩法进行递推可能比较困难，我们尝试用分析法证明。
要证明(a3 + b3＞a2b + ab2)，只需要做差，证明(a3 + b3 - a2b - ab2＞0)，因为这个差值大于 0 就能推出上面式子成立。进而只需证明(a2(a - b) - b2(a - b)＞0)，也就是把第一项和第三项提取(a2)，第二项和第四项提取(b2)。然后再提取((a - b))，得到((a - b)(a2 - b2)＞0)，若能证明这个式子成立，上面的式子就都成立。后续大家应该都明白了，我们从后面这个式子再提取一个((a - b))与前面的((a - b))相乘，得到只需证明((a - b)2(a + b)＞0)。而根据条件，a、b 是不相等的正数，所以(a + b＞0)，((a - b)2＞0)，于是乘积大于 0 ，上述式子必然成立。这一题我们就是使用了分析法的思想，每一步找前一步成立的充分条件，依次往前推，直到找到明显成立的条件，所以不等式得证。
好，我们再看下一个例题。用定义法证明函数(f(x)=2x2 - 12x + 16)在区间((3, +∞))上是增加的。要证明这个函数在((3, +∞))上是增加的，根据定义，对于任意的(x?)，(x?)属于((3, +∞))这个开区间，都有(f(x?)＜f(x?))成立。
我们展开证明。要证明函数(f(x)=2x2 - 12x + 16)在区间((3, +∞))上是增加的，只需证明对于任意的(x?)，(x?)属于((3, +∞))这个开区间，且(x?＜x?)时有(f(x?) - f(x?)＜0)，把(f(x?))移过来，这样如果能完成对这个命题的证明，就能实现我们最终要证明的结果。
只需要证明对任意的(x?)，(x?)满足(x?＜x?)且(x?)，(x?＞3)时，(f(x?) - f(x?))，把(x?)，(x?)代入函数值做差，得到(2x?2 - 12x? + 16 - (2x?2 - 12x? + 16))。然后把(2x?2)和(-2x?2)放在一起提取 2，一次项提取(-12)，16 和 16 抵消，得到(2(x?2 - x?2) - 12(x? - x?))。
同学们都发现这里面有公因式，于是提取公因式，得到(2(x? - x?)(x? + x? - 6))。也就是我们只需要证明(f(x?) - f(x?))化简到这种形式小于 0 ，那么前面要证的就成立。这个式子能不能小于 0 呢？我们根据条件分析一下，因为(x?＜x?)，所以(x? - x?＜0)。又因为(x?＞3)，(x?＞3)，所以(x? + x?＞6)，即(x? + x? - 6＞0)。这样就能保证(2(x? - x?)(x? + x? - 6)＜0)成立。
于是，我们就证明了函数(f(x)=2x2 - 12x + 16)在区间((3, +∞))上是增加的。
根据刚才例题的分析与讲解，同学们对分析法的思路都理解了吗？下面我们共同做一个练习。求证(\sqrt{a} - \sqrt{a - 1}＜\sqrt{a - 2} - \sqrt{a - 3})，条件是(a≥3)。同学们都处理好了吗？下面我们看两位同学的解答。