师：同学们，大家好。今天我们学习北师大版数学选修1 - 2第一章统计案例。在日常生活中，我们常遇到这样的问题：人的身高与体重之间是否存在线性相关关系？吸烟与患肺癌之间有关系吗？生活中类似问题很多，怎样得出可靠结论呢？这就需要科学的方法，也就是数学中所说的统计方法。本章我们在必修3的基础上，通过对典型案例的分析，继续学习一些常用的统计方法，体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。首先，我们开始第一课时——回归分析。
什么是回归分析呢？回答这个问题前，我们先来回顾两个变量的关系。这里给出三个问题：一是一个人的收入y与其身高x之间的关系；二是正方形的面积y与边长x之间的关系；三是商品的销售额y与广告费x之间的关系。
在第一个问题中，一个人的收入与身高应该没有关系，数学上称之为不相关。问题二，正方形的面积等于边长的平方，给定一个x值，y都有唯一的值与之对应，这种关系在数学上称为函数关系，它是一种确定性关系。问题三，商品的销售额与广告费之间有关系，但这种关系不明确，无法用一个式子表达，数学中称之为相关关系。
因此，两个变量的关系可以分成三类：不相关、函数关系、相关关系。其中相关关系又可以分成线性相关与非线性相关。而回归分析就是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，以便帮助我们发现其中蕴含的规律。
实际上在必修3，我们已经用回归分析的方法对线性相关的两个变量进行了研究，并且知道它解决问题的一般步骤：第一步，画散点图；第二步，求回归直线方程；第三步，利用回归直线方程进行预测。在这里，我们要能根据散点图直观地了解两个变量的关系。
这里有三个散点图，在第一个图中散点的分布没有规律，我们称两个变量不相关。第二个图中这些点分布在一条弯曲的线附近，数学中称之为非线性相关。第三个图中这些点好像分布在一条直线附近，数学中称之为线性相关。下面我们就来考虑对于线性相关的两个变量如何建立它的回归方程。
这里给出了散点图，从散点图可以看出，这两个变量可以看作线性相关，因此我们可以求它的回归方程。但是在这些点的附近可画的直线不止一条，也就是说我们可以用不同的直线去近似刻画这两个变量的关系，那么哪一条比较好呢？历史上曾经有很多大数学家尝试过去求线性回归方程，但并不是很成功。我们书本上重点学习了一种方法，叫最小二乘法。
最小二乘法是经过长期摸索得出的一种较好方法。最小二乘法的推导思路比较复杂，同学们不需要掌握，但我们要了解最小二乘法的基本思想。我们知道一条直线要想很好地刻画两个变量的关系，应该满足它离所有点都比较近，为此我们可以计算每个点到直线的距离，使它们的和最小。
下面我们来看一个点到直线的距离。对于点(xi, yi)，我们可以做出点到直线的距离，把它记作di。根据点到直线的距离公式，di应该等于|yi - a - bxi|除以根号下(b2 + 1)。在这里既有根号又有绝对值，为了方便，我们可以考察另一段距离，把它记作hi。这条线是竖直的，这个点的横坐标是xi，它的纵坐标我们可以代入直线得到a + bxi。在这里我们可以用hi的长来近似刻画点离直线距离的远近，此时hi应该等于这两个点纵坐标差的绝对值，即hi = |yi - a - bxi|。这里面含有绝对值，为了简便，我们可以计算hi的平方，H12 + H22 + … + HN2，我把它记为Q(a, b)。
我们使Q(a, b)最小就可以得到最小二乘法的系数公式。以后我们用最小二乘法求线性回归方程，实际上就是套用公式，可以先算b，进一步算a。利用最小二乘法求得的线性回归方程可能不过样本点中的任何一个，但是它离所有点都比较近，可以很好地刻画两个变量的关系。
在这里我们对第二个式子进行变形，可以得到$\overline{y}$ = a + b$\overline{x}$，我们把这个式子和方程对比，会发现这相当于点($\overline{x}$, $\overline{y}$)在直线上。因此最小二乘法求得的线性回归方程有一个性质，它恒过点($\overline{x}$, $\overline{y}$)，我们称为样本点的中心。