师：同学们好，本节课由我带领大家学习计算导数这一节。在开始新课之前，我们先来回顾上节课所学内容。第一个问题，导数的定义是什么？请同学们回答。
生：函数(y = f(x))在(x_0)处的导函数(f^\prime(x_0))等于(\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x})，当(\Delta x)趋近于(0)时的极限值。
师：对，非常好。那么第二个问题，导数的几何意义是什么呢？请同学们回答。
生：函数(y = f(x))在(x_0)处的导数，就是曲线(y = f(x))在点((x_0, f(x_0)))处切线的斜率。
师：很好，由此我们进入本节新课内容。首先看例题，一个运动物体走过的路程(s)是时间(t)的函数，(s = f(t) = 2t^2)，求(f(t))的导函数在(t = 5)的值(f^\prime(5))，并解释它的实际意义。那么如何求出已知函数的导数以及解决此类问题的步骤是什么呢？这是我们解决本例题的关键。前面回顾了导数的定义式和它表示的几何意义，我们知道(f^\prime(x_0))等于平均变化率的极限值，也就是(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x})。要求导数，我们需要分三步完成：第一步求增量(\Delta y)；第二步求平均变化率(\frac{\Delta y}{\Delta x})；第三步取极限得出导数。那么按照这样的思路，我们来解答本题。首先，对于(t = 5)时自变量的增量(\Delta t)，函数值的改变量为(\Delta s = f(5 + \Delta t) - f(5))。代入解析式可得：(\Delta s = 2\times(5 + \Delta t)^2 - 2\times5^2 = 2\times(10\Delta t + \Delta t^2))。
师：那么第二步我们要做什么呢？
生：算出平均变化率(\frac{\Delta s}{\Delta t})。
师：对，经过化简处理，(\frac{\Delta s}{\Delta t} = 2\times(10 + \Delta t))。那么第三步我们做什么呢？
生：取极限得导数，计算出(f^\prime(5))。
师：没错，最后(f^\prime(5) = 20)。那么它表示的意义是什么呢？我们知道导数表示的是瞬时变化率，所以导数(f^\prime(5))表示的是物体在第(5)秒时的瞬时速度，即物体在第(5)秒时的瞬时速度为(20)米/秒。通过本例题，同学们收获了什么呢？
生：学会了如何计算函数(y = f(x))在(x = x_0)处导数的解题步骤。第一步求出函数的增量(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))；第二步计算平均变化率(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x})；第三步取极限得导数(f^\prime(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x})。
师：很好。为了巩固所学内容，我们再看一个例题。例(2)，求函数(f(x) = \frac{2}{x} + x)在下列各点的导数。这里有三个点，第一点(x = 1)；第二点(x = -2)；第三点(x = x_0)。同学们，根据例(1)的解题过程，请大家在练习本上完成本例题的解答。
（学生练习后）
师：下面我们看一下具体的解答过程。先求什么呢？
生：先求出增量。
师：对，对于(x = 1)时(x)的改变量(\Delta x)，可得(\Delta y = f(1 + \Delta x) - f(1))。代入解析式经过化简整理，(\Delta y = \frac{\Delta x^2 - \Delta x}{1 + \Delta x})。
师：第二步，我们求什么？
生：求平均变化率(\frac{\Delta y}{\Delta x})。
师：对，(\frac{\Delta y}{\Delta x})化简后等于(\frac{\Delta x - 1}{1 + \Delta x})。对于这个式子，分母都有变量(\Delta x)，我们怎么处理更好呢？
生：进行变量分离。
师：对，在这里我们进行变量分离，(\frac{\Delta y}{\Delta x} = 1 - \frac{2}{1 + \Delta x})。下面我们取极限得导数，计算出(f(x))的导函数在(x = 1)的值(f^\prime(1))。
生：(f^\prime(1) = -1)。
师：对于第二问(x = -2)以及第三问(x = x_0)的值，导数值的求解也是按照相同的步骤来完成。下面我们看一下具体的解题过程。第一步，仍然求增量(\Delta y = f(-2 + \Delta x) - f(-2))。代入解析式等于(\frac{\Delta x}{ - 2 + \Delta x} + \Delta x)。第二步，我们求平均变化率(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{ - 2 + \Delta x} + 1)。第三步，我们取极限得导数，计算出(f^\prime(-2))。
生：(f^\prime(-2) = \frac{1}{2})。
师：对于第三问，第一步仍然是求出增量(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))，这个式子化简比较麻烦，我们把(x_0 + \Delta x)代入解析式以及(x_0)代入解析式化简，(\Delta y = -\frac{2\Delta x}{x_0^2 + x_0\Delta x} + \Delta x)。第二步，我们求平均变化率(\frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{2}{x_0^2 + x_0\Delta x} + 1)。第三步取极限得导数得出(f^\prime(x_0) = -\frac{2}{x_0^2} + 1)。同学们发现这三小问有什么共同的特点呢？
生：这三小问都是分三步完成，分别是求增量、求平均变化率、取极限得导数。
师：对，很好。在这里面我们重点看一下第三问，这里(x_0)是作为已知数来处理的。实际上(x_0)是任意的已知数，那么这时候我们可以把(x_0)换成(x)，那么就得出(f^\prime(x) = -\frac{2}{x^2} + 1)，它是关于(x)的函数。于是我们看一下对于例(2)中的函数(f(x) = \frac{2}{x} + x)，对于定义域中任意的一点(x_0)，函数都有一个导数值(f^\prime(x_0) = -\frac{2}{x_0^2} + 1)与之对应。这时候我们说(f^\prime(x) = -\frac{2}{x^2} + 1)是(x)的函数，由此就得出我们本节课一个重点内容，导函数的定义。
一般的，如果一个函数(f(x))在开区间((a,b))上的每一点(x)处都有导数值，记为(f^\prime(x))，它等于(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x})，这时候(f^\prime(x))是关于(x)的函数，我们说(f^\prime(x))是(f(x))的导函数，通常也简称为导数。对于导函数的定义应用，我们用它来求简单函数的导数公式。下面我们通过具体的例子来看一下。
例(3)，求(y = f(x) = 3x^2 - x)的导函数(f^\prime(x))，并利用导函数(f^\prime(x))求导函数在(x = 1)，(x = -2)以及(x = 0)的值。下面给同学们一点时间，在作业本上完成本题的解答。
（学生练习后）
师：我们来看一下具体的解答过程。第一步，我们先求增量(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x))。带入解析式等于(3(x + \Delta x)^2 - (x + \Delta x) - (3x^2 - x))。化简整理等于(3\Delta x^2 + 6x\Delta x - \Delta x)。