师：同学们，大家好，欢迎走进刘老师的数学课堂。今天我们共同学习北师大版高中数学选修2 - 2第五章第一节“数系的扩充与复数的引入”。请同学们做好准备。
师：同学们，我们都学习过哪些数集呢？一起来回顾一下，像自然数集、整数集、有理数集、实数集。我们知道，负整数的引入解决了自然数集中不够减的矛盾，分数的引入解决了整数集中不够整除的矛盾，无理数的引入解决了有理数中开方开不尽的矛盾。那么，当数集扩充到实数集之后，是不是所有方程都有解了呢？请同学们思考，比如方程$x^2 + 1 = 0$，即$x^2 = -1$，这个方程在实数集内有解吗？
生：没有解。
师：为什么呢？
生：因为在实数集内负数没有平方根。
师：非常好。那我们能不能引入一个新数，让实数集得到扩展呢？其实早在16世纪，科学家们就已经开始研究这个问题了。1545年，卡尔丹在解方程时首次使用负数平方根的概念，并将其命名为“鬼变量”。经过近百年研究，1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”。又过了140年，1777年，瑞士数学家欧拉首次使用符号“$i$”，并规定$i^2 = -1$，称$i$为虚数单位。现在，我们一起来认识一下虚数单位。为了扩充实数集，我们引入新数$i$作为虚数单位，并规定$i^2 = -1$。数与$i$可以进行四则运算，并且在运算时，原有的加法与乘法运算律仍然成立。那么根据这些规定，会产生什么形式的数呢？同学们思考一下。
师：既然实数与$i$可以进行四则运算，且加法和乘法运算律成立，比如$3i + 4i$是成立的。当实数与$i$相加时，像$i + 3i + 4$等等。同学们，我们能不能抽象出一般的表达式呢？$3i$、$4i$以及$3$、$4$都是实数形式，那它的一般表达式会是什么样呢？
生：$a + bi$。
师：非常好。$a$，$b$属于实数，这就是我们这节课要讲的复数的概念。形如$a + bi$（$a$，$b \in R$）的数叫做复数，通常用字母$z$表示，复数的代数形式为$z = a + bi$（$a$，$b \in R$）。$a$称作复数的实部，$b$称作复数的虚部，$i$称为虚数单位。全体复数组成的集合叫做复数集，一般用字母$C$表示。同学们，随着$a$、$b$的取值不同，复数会产生哪些分类呢？
师：当虚部$b = 0$时，此时$z = a$，为实数；当虚部$b \neq 0$时，此时为虚数。实部为$0$，虚部不为$0$时为纯虚数，比如$3i$、$4i$等等。当实部不为$0$，虚部也不为$0$时，我们称作非纯虚数，比如$2 + 3i$、$4 + 5i$等等。它的图形表示如下，从图中我们可以看出，实数集是复数集的真子集，虚数集也是复数集的真子集，纯虚数集是虚数集的真子集。那么到此，我们的数系扩充情况如下：在实数集的基础上，添加虚数后扩充到了复数集。
师：同学们认识了复数，会不会应用呢？我们来看一个例题。例1，说出下列复数的实部、虚部，并且指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，是否为纯虚数？请同学们拿出纸和笔动手算算。
师：我们来看，要解决这个问题，首先要写出复数的代数形式。第一个$3 + 4i$，它的实部为$3$，虚部为$4$，$3 + 4i$是虚数，但不是纯虚数。第二个$-\frac{\sqrt{3}}{2}i = 0 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})i$，根据复数的定义，它的实部为$0$，虚部为$-\frac{\sqrt{3}}{2}$。我们来看一下标准的解答过程。第一个是虚数，但不是纯虚数；第二个既是虚数又是纯虚数。同理，我们来解决第三个，$-7$写成$-7 + 0i$，它的实部为$-7$，虚部为$0$，因此$-7$是实数。第四个，$0$写成$0 + 0i$，那么它的实部为$0$，虚部也为$0$，是实数。
师：同学们，通过解决这个问题，我们不仅了解了实部和虚部的概念，如果继续思考，两个复数之间可以比较大小吗？比如当两个复数同为实数时，像$-7$和$0$，是可以比较大小的。若两个复数同为虚数，比如$3i$、$4i$，能否比较它们的大小呢？我们想用做差法，$4i - 3i = i$，那么我们能比较$i$和$0$的大小关系吗？
生：不能。
师：对，也就是无法比较$3i$和$4i$的大小，即当两个复数同为虚数时，不能比较大小。若两个复数中一个为虚数，一个为实数，比如$2i$和$0$，也不能比较大小。那么同学们，你们能总结出什么规律呢？
生：两个不全是实数的复数之间不能比较大小。
师：非常好。虽然两个复数一般不能比较大小，可是它们之间有没有相等关系呢？我们来继续探索。若$a$、$b$、$c$、$d \in R$，且$a + bi = c + di$，能得出什么规律呢？我们学过两个二项式相等的定义，比如$a + bx = c + dx$，得出$a = c$，$b = d$。类比二项式相等的定义，我们得出的规律是$a = c$，$b = d$。用文字语言描述为：两个复数$a + bi$与$c + di$相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等时，记作$a + bi = c + di$，我们称作两复数相等。