师：同学们好，欢迎来到数学课堂。今天这节课我们复习第四章“数系的扩充与复数的引入”。首先，了解本节课的学习目标：在问题情境中，明白数系扩充的过程及必要性；理解复数的基本概念，掌握复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数的四则运算。
接着，来看本章知识结构。本章包含两部分内容，第一部分是数系的扩充与复数的引入，第二部分是复数的四则运算。在数系的扩充与复数的引入这一节，我们学习了数的概念扩展和复数的有关概念。通过学习可知，复数概念的引入源于实际需求与数学内部矛盾，数系扩充过程既体现数学发现创造，又反映其发生发展的客观需要。
在复数的四则运算这一节，我们学习了复数的加法与减法、乘法与除法。要能运用复数运算法则求两个复数的和、差、积、商，理解算理，提高对运算法则合理性的认识。
下面回顾本章基本知识点。复数的定义：规定形如(a + bi)（(a,b\in R)）的数叫复数，通常记作(z = a + bi)，其中(i)是虚数单位，(a)是实部，(b)是虚部。全体复数组成的集合叫复数集，用字母(C)表示。
复数的分类：复数(a + bi)（(a,b\in R)）分为实数和虚数。当虚部(b = 0)时，它是实数；当虚部(b\neq0)时，它是虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数。当虚数的实部(a = 0)时，它是纯虚数；当虚数的实部(a\neq0)时，它是非纯虚数。此时，实数集、虚数集都是复数集的真子集。
两个复数相等的充要条件：两个复数(a + bi)与(c + di)相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等，即(a + bi = c + di)，当且仅当(a = c)且(b = d)。
复数的几何意义：复数(a + bi)与复平面内的点((a,b))一一对应，与复平面内的向量(\overrightarrow{OA})也一一对应。这使得数与形的一一对应从一维空间扩展到二维空间，同时让复数与向量、解析几何间建立起沟通桥梁。
复数的模：设复数(z = a + bi)（(a,b\in R)），在复平面内对应的点是(Z)，坐标为((a,b))，则点(Z)到原点的距离(\vert OZ\vert)叫做复数(z)的模或绝对值，记作(\vert z\vert)。显然，(\vert z\vert = \sqrt{a^{2} + b^{2}})。
共轭复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数，(z)的共轭复数用(\overline{z})表示。不难发现，复数(z)的模和其共轭复数的模相等，两个互为共轭复数的积是实数，等于(a^{2} + b^{2} = \vert z\vert^{2})。利用这一性质进行虚实转换，有时可简化计算。
接下来回顾复数的四则运算法则：两个复数的和、差、积、商，结果仍是复数。求两个复数的和或差，关键是认清实部和虚部，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。两个复数相乘，类似多项式相乘，在所得结果中把(i^{2})换成(-1)，并合并实部与虚部。复数的除法与分母有理化类似，用分母的共轭复数同乘分子分母后再运算。
以上是本章基本知识点，下面看这些知识点的应用。
考点一：复数的有关概念。例一，给定一个复数(z)，问当(x)为何实数时，复数(z)是实数，复数(z)是纯虚数。本题主要考查复数的分类，依据复数概念求解。具体解答过程：一个复数是实数的充要条件是虚部为(0)，该复数虚部是(i^{2} + 3x + 2)，所以(i^{2} + 3x + 2 = 0)，其实部是以(10)为底(i^{2} - 2x - 2)的对数，要使对数有意义，其真数(i^{2} - 2x - 2\gt0)。由(i^{2} + 3x + 2 = 0)可解得(x = -1)或(x = -2)，经检验均满足真数大于(0)，所以当(x = -1)或(x = -2)时，复数(z)是实数。
第二小问，(z)是纯虚数，一个复数是纯虚数的充要条件是虚部不为(0)且实部为(0)。该复数虚部是(i^{2} + 3x + 2)，所以(i^{2} + 3x + 2\neq0)；实部是以(10)为底(i^{2} - 2x - 2)的对数，所以(\log_{10}(i^{2} - 2x - 2) = 0)，且真数(i^{2} - 2x - 2\gt0)。由(i^{2} + 3x + 2\neq0)可解得(x\neq -1)且(x\neq -2)；由(\log_{10}(i^{2} - 2x - 2) = 0)可解得(x = 3)或(x = -1)。综合可得(x = 3)，经检验满足真数大于(0)，所以当(x = 3)时，复数(z)是纯虚数。
同学们，解决复数有关概念问题，要正确确定复数实部、虚部，这是准确理解复数相关概念（如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模）的前提。两个复数相等的充要条件是将复数问题转化为实数问题的依据。求字母范围时，要注意复数实部与虚部自身有意义。
下面看变式训练一：设复数(z)满足(i(z + 1) = -3 + 2i)，求复数(z)的实部。思路一：设复数(z = a + bi)（(a,b\in R)），则(i(z + 1) = i(a + bi + 1))，化简得(-b + (a + 1)i = -3 + 2i)。由两个复数相等的充要条件可得方程组(\begin{cases}-b = -3\a + 1 = 2\end{cases})，解得(a = 1)，(b = 3)，所以复数(z)的实部是(1)。思路二：由条件可得(z + 1 = \frac{-3 + 2i}{i})，把(-3)换成(3i^{2})，得到(\frac{3i^{2} + 2i}{i})，化简得(2 + 3i)，所以(z = 1 + 3i)，故所求复数实部是(1)。
下面看考点二：复数的四则运算。例二第一小题，设(i)是虚数单位，若复数(z = 1 + i)，求(\frac{z}{i} + i\overline{z})的值。本题关键是求出复数(z)的共轭复数，结合复数运算法则求解。具体解答过程：因为(z = 1 + i)，所以(\overline{z} = 1 - i)，(\frac{z}{i} = \frac{1 + i}{i})，利用复数除法运算法则，分子分母同乘以分母的共轭复数(-i)，得到(\frac{(1 + i)( - i)}{i( - i)})，利用乘法法则化简得(1 - i)。把(\overline{z})与(\frac{z}{i})的结果代入原式，得到(1 - i + i(1 - i))，化简得(2)，故答案选(C)。