师：同学们好，今天我们来学习北师大版选修2 - 2第四章第二节微积分基本定理。首先，我们复习上节课内容。上节课我们学习了定积分的概念、几何意义和基本性质，利用这些知识可求定积分的值。但通过学习发现，利用定积分定义求积分值，过程大多比较麻烦。比如求曲边梯形面积，计算(x^{2})在(0)到(1)上的定积分，要分成分割、近似、代替、求和取极限四个步骤，过程复杂。甚至有些定积分，像(\frac{1}{x})在(1)到(2)上的定积分，在第三步求和时都无法完成。
我们知道利用定积分的几何意义能求一部分定积分的值，主要适用于所围成平面图形面积容易求出的情况，比如长方形、三角形、梯形、半圆形等。同学们思考一下，能不能找到更简洁有效的方法求积分值呢？现在我们已经学习了微积分学中最重要、最基本的两个概念——导数和定积分，它们之间有什么联系？能否利用这种联系求积分值呢？下面请同学们翻开课本第82页，阅读实例分析，思考从定积分角度分析速度和路程有什么关系，我们一起来分析。
若物体走过的路程(s)是时间(t)的函数，(s = S(t))，那么(t)从(a)到(b)物体所走过的路程就是(S(b) - S(a))。我们把时间(t \in [a,b])平均分隔成(n)个小时间段，即插入(n - 1)个点。记(a = t_{0} \lt t_{1} \lt t_{2} \lt \cdots \lt t_{n} = b)。这样一来，(S(b) - S(a))就被分割成了(n)个小路程。
在第一个时间段(t_{0})到(t_{1})内，物体所走过的路程是(S(t_{1}) - S(t_{0}))；在第二个时间段(t_{1})到(t_{2})内，物体所走过的路程是(S(t_{2}) - S(t_{1}))；一直到第(n)个时间段(t_{n - 1})到(t_{n})内，物体所走过的路程是(S(t_{n}) - S(t_{n - 1}))，这一步我们称之为分割。那么(S(b) - S(a))就可以写成这(n)段小路程的和，即(S(t_{1}) - S(t_{0}) + S(t_{2}) - S(t_{1}) + \cdots + S(t_{n}) - S(t_{n - 1}))，化简后等于(S(t_{n}) - S(t_{0}))，(t_{0})就是(a)，(t_{n})就是(b)，所以(S(b) - S(a))正好能表示成这(n)段的路程之和。
我们从图像上来分析，这是路程函数(s = S(t))在([a,b])上的图像，把([a,b])分割成(n)小段。在第(i)个小区间([t_{i - 1}, t_{i}])上这一段的路程我们记作(\Delta s_{i})，即(\Delta s_{i} = S(t_{i}) - S(t_{i - 1}))。我们把这一部分放大来看，这就是在区间([t_{i - 1}, t_{i}])上的路程(\Delta s_{i})。在第(i)个小区间([t_{i - 1}, t_{i}])内，(i = 1,2,3,\cdots,n)，我们用(t_{i - 1})时刻的瞬时速度(v(t_{i - 1}))来代替该区间的平均速度。那么该区间的路程(\Delta s_{i})，即(S(t_{i}) - S(t_{i - 1}))，就约等于(v(t_{i - 1}) \cdot \Delta t_{i})（速度乘时间），也就是说我们用匀速运动的路程代替该区间上的路程。当然，我们也可以用(t_{i})时刻，甚至于这个区间内任意时刻的瞬时速度来代替该区间的平均速度。这个过程我们称之为近似代替。
这样一来，在([a,b])上的路程(S(b) - S(a))就约等于(v(t_{0}) \cdot \Delta t_{1})（第一个小区间的匀速运动路程）加上(v(t_{1}) \cdot \Delta t_{2})（第二个小区间上匀速运动路程）一直加到(v(t_{n - 1}) \cdot \Delta t_{n})（第(n)个小区间上匀速运动路程），这一步我们称之为求和。那么当每个时间间隔(\Delta t)趋近于(0)的时候，这个和式就会无限地逼近(S(b) - S(a))，也就是说这个和式的极限值就是(S(b) - S(a))，这一步我们称之为取极限。
同学们来看，根据刚才的分析，分割、近似代替、求和、取极限，这不正是我们前面学习的用定积分的定义来求积分值的四个步骤吗？所以按照定积分的定义，(S(b) - S(a) = \int_{a}^{b}v(t)dt)。我们来看这个等式的左边，它是在时间段([a,b])上的路程，等式的右边是速度(v(t))在([a,b])上的定积分，所以我们说速度的积分等于路程。
我们前面学习导数的时候知道，路程的导数是等于速度的，也就是(v(t) = S^\prime(t))，我们把(v(t))换成(S^\prime(t))，上面的积分式就变为(S(b) - S(a) = \int_{a}^{b}S^\prime(t)dt)。大家来看这个被积函数(S^\prime(t))，它是一个导函数，所以这个等式就建立了积分与导数的联系。
我们来看这个等式，我们要求(S^\prime(t))在([a,b])上的定积分，需要求路程函数(S(t))，然后再求(S(t))在(b)处的函数值减去(S(t))在(a)处的函数值。这样我们就得出了路程函数(S(t))和它的导函数(S^\prime(t))之间的关系。一般情况下，一个函数和它的导函数也具有这种关系。
下面我们利用这个具体的实例把它抽象成一般的数学结论。若连续函数(f(x))是函数(F(x))的导函数，即(f(x) = F^\prime(x))，那么就会有(\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a))，这个公式我们称之为牛顿 - 莱布尼茨公式，它是由两位伟大的数学家牛顿和莱布尼茨同时独自发现的，这个结论我们也称之为微积分基本定理。
下面我们来解释一下这个定理，当中连续函数指的是图像是一条不间断的曲线，我们在高中阶段所研究的函数大多数是连续函数。这个函数(F(x))我们称为是(f(x))的一个原函数。牛顿 - 莱布尼茨公式我们还可以记作(\int_{a}^{b}f(x)dx = F(x)\big|_{a}^{b} = F(b) - F(a))。我们要求定积分的值，要先求它的一个原函数，然后再求原函数在(b)处的函数值减去它在(a)处的函数值。所以求定积分就是要寻找被积函数的原函数，然后再求原函数在区间端点的函数值之差。要求原函数就要用到我们前面学习的基本函数的求导公式，以及导数的四则运算的逆运算。
在这个地方我们来看为什么称(F(x))是(f(x))的一个原函数呢？因为(f(x))的原函数有无数多个，它们之间相差一个常数。举个例子，例如(f(x) = 2x)，那么它的原函数可以是(x^{2})，也可以是(x^{2} + k)（(k)是一个常数）。大家来看，这两个函数的导函数都是(2x)，所以这两个函数都是(2x)的原函数。我们一般情况下只需要找出一个原函数即可，通常找(k = 0)的情况，因为原函数当中即使带着常数(k)，求完原函数后再求原函数在区间端点的函数值之差，作差过后常数(k)也就消去了。
下面我们来了解一下这个定理的意义。微积分基本定理建立了积分与导数的密切联系，它使得求定积分的问题变得简洁。有了这个定理，过去一些著名数学家利用特殊方法取得的许多重要成果，都成了积分方法的普通例题或者习题，例如圆的面积公式、球的体积公式等等。