师：同学们，大家好。通过前几天的学习，我们完成了高中数学定积分模块的学习。今天，我将带领大家复习总结本章内容。复习过程如下：首先梳理知识网络，接着分析定积分的概念和微积分基本定理，然后总结主要题型，最后通过例题讲解归纳解题常用方法。
下面我们先看本章知识网络。这一章从熟悉的面积和路程问题出发，它们蕴含相同数学内涵，即通过分割自变量区间得到过剩估计值和不足估计值。区间分割越细，估计值越接近精确值；当区间长度趋于0时，估计值趋于所求值。在此基础上，引出定积分定义。随后研究了定积分的几何意义和性质。
由定积分定义求定积分，需经历分割、近似代替、求和、求极限的过程，计算繁琐。利用几何意义求定积分有局限性，仅适用于函数图形规则的情况。因此，我们又研究了微积分基本定理。该定理建立了导数与积分的密切关系，求定积分只需找到被积函数的原函数，使计算变得简洁。学完这些知识后，我们将其应用于几何，解决了两方面问题：一是利用定积分的几何意义和性质求平面图形的面积；二是运用定积分定义中的积分思想求简单几何体的体积。
从知识网络分析可知，定积分的相关概念和微积分基本定理在解题中至关重要。下面我们从这几方面复习。
先看定积分的定义。一般地，给定区间[a, b]上的函数f(x)，其图像如图所示。我们将区间分成n份，第i个小区间长度为Δxi。在这个小区间上取一点ci，使f(x)在该点函数值最大，设这个和式为S大；再取一点ξi，使f(x)在该点函数值最小，设这个和式为S小。
若每次分割后最大小区间长度趋于0，S大与S小的差也趋于0，此时S大与S小同时趋于一个固定常数a，我们称a是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，用符号表示。其中a叫积分下限，b叫积分上限，f(x)称为被积函数。
关于定积分的定义，要注意两点：一是定积分的值是常数，可为正数、负数或0，只与被积函数和积分上下限有关；二是定积分的定义给出一种求定积分的方法，可概括为：分割、近似代替、求和、求极限。
由定积分定义结合图像，可得其几何意义。当函数f(x)>0时，定积分表示y = f(x)与直线x = a、x = b、x轴围成的曲边梯形的面积。在解题中，更多遇到的是f(x)在区间[a, b]上有正有负的情况。此时，定积分的值是由x轴、曲线f(x)以及x = a、x = b所围成曲边梯形面积的代数和，其中x轴上方的面积取正值，x轴下方的面积取负值。
有了定积分的几何意义，结合图像可得如下性质：
性质一：函数y = 1在区间[a, b]上的定积分，值为b - a。
性质二：若被积函数含有常数k，k可提取出来。
性质三：f(x)与g(x)的和或差在区间[a, b]上的定积分，等于它们积分的和或差。
性质四：描述积分区间的可加性，可将积分区间分成两段，定积分等于f(x)在两个子区间上定积分之和。
有了定积分的这些性质，结合微积分基本定理，就能解决定积分的计算题。下面回顾微积分基本定理。
若连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)=F′(x)成立，则f(x)在区间[a, b]上的定积分等于F(b) - F(a)。这个公式称为牛顿 - 莱布尼茨公式。为方便起见，常把F(b) - F(a)用符号F(x)|ab表示，那么公式又可记作∫abf(x)dx = F(x)|ab。
微积分基本定理建立了导数与积分的密切关系，求导与求积分互逆。求函数定积分，只需找到被积函数的原函数。原函数不止一个，为计算方便，常取常数为0的最简原函数。微积分基本定理使定积分计算变得简便。
学完这些知识，下面总结定积分在几何中的简单应用。先看求平面图形面积的常见情形。
当f(x)图像在x轴上方时，曲边梯形面积可直接表示为f(x)在区间[a, b]上的定积分。当f(x)图像在x轴下方时，曲边梯形面积等于积分的相反数。
一般情况下，由直线x = a、x = b以及曲线f1(x)、f2(x)围成的平面图形面积，关键在于确定定积分模型，即明确积分上下限和被积函数。结合图像，面积可表示为∫ab|f1(x) - f2(x)|dx，一般被积函数是上方曲线与下方曲线对应函数的差。
求平面图形面积关键在于确定定积分模型，明确积分上下限和被积函数，这种转化与化归思想是数学常用思想方法，能将不熟悉问题转化为熟悉模型解决。
下面看由定积分求简单几何体的体积。设由曲线y = f(x)、直线x = a、x = b与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为V。类比曲边梯形面积求法，在区间[a, b]内插入n - 1个分点，把曲边梯形分割成n个与x轴垂直的小长条。设第i个小长条宽为Δxi，该小长条绕x轴旋转一周得到厚度为Δxi的小圆片。当Δx很小时，小圆片可近似看成底面半径为f(xi)的小圆柱。那么第i个小圆片体积可近似用圆柱体积表示，该几何体体积等于所有小圆柱体积和。
由定积分定义结合图像，积分下限为a，积分上限为b，被积函数为πf2(x)。根据定积分性质，π可提取出来。用定积分求简单旋转体体积过程，是对定积分定义的进一步理解，要体会定积分定义中分割、近似代替、求和、求极限的积分思想。
梳理完知识网络，复习分析重点内容后，我想问同学们，如果你来出题考察本章内容，会设计什么题型？通过前面分析，本章重点内容有定积分求解、定积分简单应用（求平面图形面积、求简单几何体体积），还要注意知识点间交汇考察，最常见的是与几何概型结合。下面通过具体例题讲解，总结归纳解题基本方法。